Страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

430. Запишите известные вам формулы сокращённого умножения.

431. Перепишите формулы сокращённого умножения, используя буквы:

а) х и у;

б) m и n.

Формулы сокращённого умножения — это тождества, которые позволяют выполнять умножение многочленов по определённым правилам, что значительно упрощает вычисления. Сначала приведём основные формулы в общем виде, используя переменные a и b.

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
• Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
• Куб разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Теперь перепишем эти формулы, используя буквы, указанные в условии задачи.

а) x и y

Для этого пункта заменим в общих формулах переменную a на x, а переменную b на y. Получим следующие равенства:

1. Квадрат суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

2. Квадрат разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

3. Разность квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$

4. Куб суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

5. Куб разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

6. Сумма кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

7. Разность кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$

Ответ:
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$;
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$;
$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$;
$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$;
$(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$;
$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$;
$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.

б) m и n

Аналогично, для этого пункта заменим в общих формулах a на m и b на n. Формулы примут вид:

1. Квадрат суммы: $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$

2. Квадрат разности: $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$

3. Разность квадратов: $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$

4. Куб суммы: $(m+n)^3 = m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3$

5. Куб разности: $(m-n)^3 = m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3$

6. Сумма кубов: $m^3 + n^3 = (m+n)(m^2 - mn + n^2)$

7. Разность кубов: $m^3 - n^3 = (m-n)(m^2 + mn + n^2)$

Ответ:
$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$;
$(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$;
$m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$;
$(m+n)^3 = m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3$;
$(m-n)^3 = m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3$;
$m^3 + n^3 = (m+n)(m^2 - mn + n^2)$;
$m^3 - n^3 = (m-n)(m^2 + mn + n^2)$.

432. Для чего применяются формулы сокращённого умножения?

Формулы сокращённого умножения — это тождества, которые позволяют в некоторых часто встречающихся случаях выполнять умножение многочленов или их разложение на множители по готовому шаблону, что значительно упрощает и ускоряет вычисления. Они являются одним из базовых инструментов в алгебре.

Вот основные формулы:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
• Разность квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$
• Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
• Куб разности: $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
• Сумма кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
• Разность кубов: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

Формулы сокращённого умножения применяются для следующих целей:

Для упрощения выражений (раскрытия скобок)

Основное применение — это быстрое преобразование произведения многочленов в их сумму, то есть раскрытие скобок. Это позволяет избежать долгого почленного умножения.

Пример: Раскрыть скобки в выражении $(3x+5)^2$.
Вместо того чтобы умножать $(3x+5)(3x+5)$, можно сразу применить формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=3x$ и $b=5$.
$(3x+5)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 5 + 5^2 = 9x^2 + 30x + 25$.

Ответ: Формулы применяются для быстрого раскрытия скобок и приведения выражений к многочлену стандартного вида.

Для разложения многочленов на множители

Это обратная операция, когда многочлен представляется в виде произведения более простых выражений (множителей). Разложение на множители — ключевой шаг для сокращения дробей, решения уравнений и упрощения сложных конструкций.

Пример: Разложить на множители выражение $49y^2 - 100z^2$.
Это выражение соответствует формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a^2 = 49y^2$ (то есть $a=7y$) и $b^2 = 100z^2$ (то есть $b=10z$).
$49y^2 - 100z^2 = (7y - 10z)(7y + 10z)$.

Ответ: Формулы используются для представления многочленов в виде произведения, что необходимо для дальнейших алгебраических преобразований.

Для рационализации вычислений

Формулы помогают быстро и удобно выполнять арифметические вычисления, особенно при возведении в квадрат чисел, близких к "круглым", или при умножении определенных пар чисел.

Пример 1: Вычислить $98^2$.
Представим $98$ как $(100-2)$ и применим формулу квадрата разности:
$98^2 = (100-2)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604$.

Пример 2: Вычислить $47 \cdot 53$.
Представим числа как $(50-3)$ и $(50+3)$ и применим формулу разности квадратов:
$47 \cdot 53 = (50-3)(50+3) = 50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491$.

Ответ: Формулы сокращённого умножения позволяют упрощать арифметические расчёты, сводя их к более простым операциям.

Для решения уравнений

Разложение на множители — один из главных методов решения уравнений. Если уравнение можно представить в виде $A \cdot B \cdot C = 0$, то оно распадается на несколько более простых уравнений: $A=0$, $B=0$, $C=0$.

Пример: Решить уравнение $x^3 - 9x = 0$.
Сначала вынесем общий множитель $x$: $x(x^2 - 9) = 0$.
Затем применим к выражению в скобках формулу разности квадратов: $x(x-3)(x+3) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно, корни уравнения: $x_1=0$, $x_2=3$, $x_3=-3$.

Ответ: Формулы применяются для факторизации уравнений, что позволяет легко найти их корни.

Для упрощения и сокращения алгебраических дробей

Чтобы сократить дробь, нужно разложить её числитель и знаменатель на множители и затем разделить на общие множители.

Пример: Сократить дробь $\frac{a^2+6a+9}{a^2-9}$.
Числитель сворачивается по формуле квадрата суммы: $a^2+6a+9 = (a+3)^2 = (a+3)(a+3)$.
Знаменатель раскладывается по формуле разности квадратов: $a^2-9 = (a-3)(a+3)$.
Получаем: $\frac{(a+3)(a+3)}{(a-3)(a+3)}$. Сокращаем общий множитель $(a+3)$:
$\frac{a+3}{a-3}$ (при условии, что $a \neq -3$).

Ответ: Формулы позволяют сокращать алгебраические дроби путем разложения числителя и знаменателя на множители.

433. Упростите выражение:

а) $ (a + 1)^2 - 2(a + 1) + 1; $

б) $ (m - n)^2 + 2n(m - n) + n^2; $

в) $ (p - q)^2 - 2(p^2 - q^2) + (p + q)^2; $

г) $ (x + 2u)^2 + 2(x^2 - 4u^2) + (2u - x)^2. $

а) $(a + 1)^2 - 2(a + 1) + 1$

Данное выражение представляет собой формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Сделаем замену: пусть $x = (a + 1)$ и $y = 1$.

Тогда выражение принимает вид: $x^2 - 2x \cdot 1 + 1^2 = (x - 1)^2$.

Теперь подставим обратно значение $x$:

$((a + 1) - 1)^2 = (a + 1 - 1)^2 = a^2$.

Другой способ решения — раскрыть все скобки:

$(a^2 + 2a + 1) - 2(a + 1) + 1 = a^2 + 2a + 1 - 2a - 2 + 1 = a^2 + (2a - 2a) + (1 - 2 + 1) = a^2$.

Ответ: $a^2$

б) $(m - n)^2 + 2n(m - n) + n^2$

Это выражение можно упростить, заметив, что оно похоже на формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Сделаем замену: пусть $x = (m - n)$ и $y = n$.

Тогда выражение принимает вид: $x^2 + 2yx + y^2 = (x + y)^2$.

Подставим обратно значения $x$ и $y$:

$((m - n) + n)^2 = (m - n + n)^2 = m^2$.

Другой способ решения — раскрыть все скобки:

$(m^2 - 2mn + n^2) + (2mn - 2n^2) + n^2 = m^2 - 2mn + n^2 + 2mn - 2n^2 + n^2 = m^2 + (-2mn + 2mn) + (n^2 - 2n^2 + n^2) = m^2$.

Ответ: $m^2$

в) $(p - q)^2 - 2(p^2 - q^2) + (p + q)^2$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для среднего члена: $p^2 - q^2 = (p - q)(p + q)$.

Выражение преобразуется к виду: $(p - q)^2 - 2(p - q)(p + q) + (p + q)^2$.

Это формула квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Сделаем замену: пусть $x = (p - q)$ и $y = (p + q)$.

Выражение принимает вид: $(x - y)^2$.

Подставим обратно значения $x$ и $y$:

$((p - q) - (p + q))^2 = (p - q - p - q)^2 = (-2q)^2 = 4q^2$.

Другой способ решения — раскрыть все скобки:

$(p^2 - 2pq + q^2) - 2p^2 + 2q^2 + (p^2 + 2pq + q^2) = p^2 - 2pq + q^2 - 2p^2 + 2q^2 + p^2 + 2pq + q^2 = (p^2 - 2p^2 + p^2) + (-2pq + 2pq) + (q^2 + 2q^2 + q^2) = 4q^2$.

Ответ: $4q^2$

г) $(x + 2y)^2 + 2(x^2 - 4y^2) + (2y - x)^2$

Преобразуем выражение. Заметим, что $(2y - x)^2 = (-(x - 2y))^2 = (x - 2y)^2$. Также используем формулу разности квадратов для среднего члена: $x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y)$.

Подставив это в исходное выражение, получим: $(x + 2y)^2 + 2(x - 2y)(x + 2y) + (x - 2y)^2$.

Это формула квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Сделаем замену: пусть $a = (x + 2y)$ и $b = (x - 2y)$.

Выражение принимает вид: $(a + b)^2$.

Подставим обратно значения $a$ и $b$:

$((x + 2y) + (x - 2y))^2 = (x + 2y + x - 2y)^2 = (2x)^2 = 4x^2$.

Другой способ решения — раскрыть все скобки:

$(x^2 + 4xy + 4y^2) + (2x^2 - 8y^2) + (4y^2 - 4xy + x^2) = (x^2 + 2x^2 + x^2) + (4xy - 4xy) + (4y^2 - 8y^2 + 4y^2) = 4x^2$.

Ответ: $4x^2$

Преобразуйте выражение в многочлен (434—439):

434. а) $(x + y + z)(x + y - z);$

б) $(x - y + z)(x - y - z);$

в) $(x - y + z)(x + y + z);$

г) $(x - y - z)(x + y - z);$

д) $(x - y - z)(x + y + z);$

е) $(-x - y - z)(x - y - z).$

а) $(x + y + z)(x + y - z)$

Для решения сгруппируем слагаемые в каждой скобке так, чтобы можно было применить формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Пусть $a = (x+y)$ и $b = z$. Тогда выражение примет вид:

$((x + y) + z)((x + y) - z) = (x+y)^2 - z^2$

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(x+y)^2 - z^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - z^2 = x^2 + 2xy + y^2 - z^2$

Ответ: $x^2 + 2xy + y^2 - z^2$

б) $(x - y + z)(x - y - z)$

Сгруппируем слагаемые: $((x - y) + z)((x - y) - z)$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = (x-y)$ и $b = z$:

$(x-y)^2 - z^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(x-y)^2 - z^2 = (x^2 - 2xy + y^2) - z^2 = x^2 - 2xy + y^2 - z^2$

Ответ: $x^2 - 2xy + y^2 - z^2$

в) $(x - y + z)(x + y + z)$

Сгруппируем слагаемые, поменяв их местами: $((x + z) - y)((x + z) + y)$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = (x+z)$ и $b = y$:

$(x+z)^2 - y^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$(x+z)^2 - y^2 = (x^2 + 2xz + z^2) - y^2 = x^2 + 2xz + z^2 - y^2$

Ответ: $x^2 - y^2 + 2xz + z^2$

г) $(x - y - z)(x + y - z)$

Сгруппируем слагаемые: $((x - z) - y)((x - z) + y)$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = (x-z)$ и $b = y$:

$(x-z)^2 - y^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$(x-z)^2 - y^2 = (x^2 - 2xz + z^2) - y^2 = x^2 - 2xz + z^2 - y^2$

Ответ: $x^2 - y^2 - 2xz + z^2$

д) $(x - y - z)(x + y + z)$

Сгруппируем слагаемые: $(x - (y + z))(x + (y + z))$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = x$ и $b = (y+z)$:

$x^2 - (y+z)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и учитывая знак минус перед скобкой:

$x^2 - (y^2 + 2yz + z^2) = x^2 - y^2 - 2yz - z^2$

Ответ: $x^2 - y^2 - 2yz - z^2$

е) $(-x - y - z)(x - y - z)$

Сгруппируем слагаемые, выделив общий компонент $(-y-z)$: $ ((-y-z) - x) ((-y-z) + x) $.

Применим формулу разности квадратов, где $a = (-y-z)$ и $b = x$:

$(-y-z)^2 - x^2$

Раскроем первую скобку. Так как $(-(a+b))^2 = (a+b)^2$, то:

$(-y-z)^2 = (y+z)^2 = y^2 + 2yz + z^2$

Подставим результат в выражение:

$y^2 + 2yz + z^2 - x^2$

Ответ: $-x^2 + y^2 + 2yz + z^2$

435. a) $(a+b+c+d)(a+b-c-d);$

б) $(a-b+c+d)(a-b-c-d);$

в) $(a+b-c+d)(a+b+c-d);$

г) $(a-b-c+d)(a-b+c-d).$

а) $(a + b + c + d)(a + b - c - d)$

Для решения сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы использовать формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

Выражение можно представить в виде $((a + b) + (c + d))((a + b) - (c + d))$.

Здесь мы видим формулу разности квадратов, где $x = (a+b)$ и $y = (c+d)$.

Применим формулу: $((a+b) + (c+d))((a+b) - (c+d)) = (a+b)^2 - (c+d)^2$.

Теперь раскроем квадраты, используя формулы квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(c+d)^2 = c^2 + 2cd + d^2$

Подставим раскрытые скобки в наше выражение и упростим:

$(a^2 + 2ab + b^2) - (c^2 + 2cd + d^2) = a^2 + 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2$.

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2$.

б) $(a - b + c + d)(a - b - c - d)$

Сгруппируем слагаемые аналогично предыдущему пункту для применения формулы разности квадратов.

Представим выражение в виде: $((a - b) + (c + d))((a - b) - (c + d))$.

Пусть $x = (a-b)$ и $y = (c+d)$. Выражение становится $(x+y)(x-y)$, что равно $x^2 - y^2$.

Подставим обратно: $(a-b)^2 - (c+d)^2$.

Раскроем квадраты, используя формулы квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и квадрата суммы:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(c+d)^2 = c^2 + 2cd + d^2$

Подставим в выражение и упростим:

$(a^2 - 2ab + b^2) - (c^2 + 2cd + d^2) = a^2 - 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2$.

Ответ: $a^2 - 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2$.

в) $(a + b - c + d)(a + b + c - d)$

Снова воспользуемся методом группировки. Перегруппируем слагаемые в скобках, чтобы выделить общие части и применить формулу разности квадратов.

$(a + b - c + d) = ((a+b) + (d-c))$

$(a + b + c - d) = ((a+b) - (d-c))$

Теперь выражение имеет вид: $((a+b) + (d-c))((a+b) - (d-c))$.

Пусть $x = (a+b)$ и $y = (d-c)$. Выражение принимает вид $(x+y)(x-y)$, что равно $x^2 - y^2$.

Подставим обратно: $(a+b)^2 - (d-c)^2$.

Раскроем квадраты:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(d-c)^2 = d^2 - 2cd + c^2$

Подставим в выражение и упростим:

$(a^2 + 2ab + b^2) - (d^2 - 2cd + c^2) = a^2 + 2ab + b^2 - d^2 + 2cd - c^2$.

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2 - c^2 + 2cd - d^2$.

г) $(a - b - c + d)(a - b + c - d)$

Сгруппируем слагаемые в скобках. Для этого изменим порядок слагаемых.

$(a - b - c + d) = ((a-b) - (c-d))$

$(a - b + c - d) = ((a-b) + (c-d))$

Выражение принимает вид: $((a-b) - (c-d))((a-b) + (c-d))$.

Пусть $x = (a-b)$ и $y = (c-d)$. Выражение становится $(x-y)(x+y)$, что равно $x^2 - y^2$.

Подставим обратно: $(a-b)^2 - (c-d)^2$.

Раскроем квадраты:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(c-d)^2 = c^2 - 2cd + d^2$

Подставим в выражение и упростим:

$(a^2 - 2ab + b^2) - (c^2 - 2cd + d^2) = a^2 - 2ab + b^2 - c^2 + 2cd - d^2$.

Ответ: $a^2 - 2ab + b^2 - c^2 + 2cd - d^2$.

436. a) $(1+x)(1-x)(1+x^2)$;

б) $(a-1)(1+a)(a^2+1)$;

в) $(m+n)(n-m)(m^2+n^2)$;

г) $(3-p)(p^2+9)(p+3)$;

д) $(x+2)(4-x^2)(x-2)$;

е) $(p+q)^2(p-q)^2$;

ж) $(a-b)(a-b)(a+b)(a+b)$;

з) $(5+m)(m-5)(m-5)(m+5)$.

а) Чтобы упростить выражение $(1+x)(1-x)(1+x^2)$, воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Сначала применим ее к первым двум множителям: $(1+x)(1-x) = 1^2 - x^2 = 1 - x^2$.

Теперь выражение выглядит так: $(1-x^2)(1+x^2)$.

Снова применяем формулу разности квадратов: $(1-x^2)(1+x^2) = 1^2 - (x^2)^2 = 1 - x^4$.

Ответ: $1-x^4$.

б) Упростим выражение $(a-1)(1+a)(a^2+1)$. Перегруппируем множители для удобства: $(a-1)(a+1)(a^2+1)$.

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ к первым двум множителям: $(a-1)(a+1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$.

Получаем выражение: $(a^2-1)(a^2+1)$.

Еще раз применяем ту же формулу: $(a^2-1)(a^2+1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$.

Ответ: $a^4-1$.

в) Упростим выражение $(m+n)(n-m)(m^2+n^2)$. Переставим множители и заметим, что $(n-m) = -(m-n)$.

Запишем выражение как $(m+n)(n-m)(n^2+m^2)$.

Применим формулу разности квадратов к первым двум множителям: $(n+m)(n-m) = n^2-m^2$.

Выражение принимает вид: $(n^2-m^2)(n^2+m^2)$.

Снова используем формулу разности квадратов: $(n^2-m^2)(n^2+m^2) = (n^2)^2 - (m^2)^2 = n^4 - m^4$.

Ответ: $n^4-m^4$.

г) Упростим $(3-p)(p^2+9)(p+3)$. Перегруппируем множители: $(3-p)(3+p)(p^2+9)$.

Применяем формулу разности квадратов: $(3-p)(3+p) = 3^2 - p^2 = 9 - p^2$.

Получаем: $(9-p^2)(p^2+9)$, что то же самое, что и $(9-p^2)(9+p^2)$.

Снова применяем формулу разности квадратов: $(9-p^2)(9+p^2) = 9^2 - (p^2)^2 = 81 - p^4$.

Ответ: $81-p^4$.

д) Упростим $(x+2)(4-x^2)(x-2)$. Переставим множители: $(x+2)(x-2)(4-x^2)$.

Применяем формулу разности квадратов: $(x+2)(x-2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.

Получаем выражение: $(x^2-4)(4-x^2)$.

Вынесем $-1$ за скобки в первом множителе: $-(4-x^2)(4-x^2) = -(4-x^2)^2$.

Раскроем квадрат по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$: $-(4^2 - 2 \cdot 4 \cdot x^2 + (x^2)^2) = -(16 - 8x^2 + x^4)$.

Раскроем скобки: $-16 + 8x^2 - x^4$.

Ответ: $-x^4+8x^2-16$.

е) Упростим $(p+q)^2(p-q)^2$. Воспользуемся свойством степеней $a^n b^n = (ab)^n$.

Выражение можно записать как $((p+q)(p-q))^2$.

Внутри скобок применим формулу разности квадратов: $(p+q)(p-q) = p^2 - q^2$.

Получаем: $(p^2-q^2)^2$.

Теперь раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$: $(p^2)^2 - 2 \cdot p^2 \cdot q^2 + (q^2)^2 = p^4 - 2p^2q^2 + q^4$.

Ответ: $p^4-2p^2q^2+q^4$.

ж) Упростим $(a-b)(a-b)(a+b)(a+b)$. Это можно записать как $(a-b)^2(a+b)^2$.

Используем свойство степеней $a^n b^n = (ab)^n$: $((a-b)(a+b))^2$.

Применяем формулу разности квадратов внутри скобок: $(a^2-b^2)^2$.

Раскрываем квадрат разности: $(a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot b^2 + (b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$.

Ответ: $a^4-2a^2b^2+b^4$.

з) Упростим $(5+m)(m-5)(m-5)(m+5)$. Сгруппируем множители: $((5+m)(m+5))((m-5)(m-5)) = (m+5)^2(m-5)^2$.

Применим свойство степеней: $((m+5)(m-5))^2$.

Используем формулу разности квадратов внутри скобок: $(m^2-5^2)^2 = (m^2-25)^2$.

Раскроем квадрат разности: $(m^2)^2 - 2 \cdot m^2 \cdot 25 + 25^2 = m^4 - 50m^2 + 625$.

Ответ: $m^4-50m^2+625$.

437. а) $(a + 1)(a + 2)(a^2 + 4)(a^2 + 1)(a - 2)(a - 1);$

б) $(a + b + c)(a + b - c) - 2ab;$

в) $(a - b)(a + b)(b^2 + a^2)(a^4 + b^4);$

г) $(a + b)^3 - 3ab(a + b);$

д) $3ab(a - b) + (a - b)^3;$

е) $(a^2 - 2)(a^2 + 2) - (2 - a^2)^2.$

а) $(a + 1)(a + 2)(a^2 + 4)(a^2 + 1)(a - 2)(a - 1)$

Чтобы упростить это выражение, сгруппируем множители таким образом, чтобы можно было применить формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Сгруппируем $(a - 1)$ с $(a + 1)$ и $(a - 2)$ с $(a + 2)$:

$((a - 1)(a + 1)) \cdot ((a - 2)(a + 2)) \cdot (a^2 + 1)(a^2 + 4)$

Применим формулу разности квадратов к первым двум парам:

$(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$

$(a - 2)(a + 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$

Подставим полученные выражения обратно:

$(a^2 - 1)(a^2 - 4)(a^2 + 1)(a^2 + 4)$

Снова сгруппируем множители для применения той же формулы:

$((a^2 - 1)(a^2 + 1)) \cdot ((a^2 - 4)(a^2 + 4))$

Применим формулу разности квадратов еще раз:

$(a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$

$(a^2 - 4)(a^2 + 4) = (a^2)^2 - 4^2 = a^4 - 16$

Теперь у нас есть произведение двух двучленов:

$(a^4 - 1)(a^4 - 16)$

Раскроем скобки:

$(a^4 - 1)(a^4 - 16) = a^4 \cdot a^4 - 16 \cdot a^4 - 1 \cdot a^4 + (-1)(-16) = a^8 - 16a^4 - a^4 + 16$

Приведем подобные слагаемые:

$a^8 - 17a^4 + 16$

Ответ: $a^8 - 17a^4 + 16$

б) $(a + b + c)(a + b - c) - 2ab$

Сгруппируем слагаемые в первых двух скобках, чтобы применить формулу разности квадратов. Пусть $(a+b) = x$ и $c = y$. Тогда выражение примет вид $(x+y)(x-y)$.

$((a + b) + c)((a + b) - c) - 2ab$

Применяем формулу $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$(a + b)^2 - c^2 - 2ab$

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(a^2 + 2ab + b^2) - c^2 - 2ab$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 + b^2 - c^2 + (2ab - 2ab) = a^2 + b^2 - c^2$

Ответ: $a^2 + b^2 - c^2$

в) $(a - b)(a + b)(b^2 + a^2)(a^4 + b^4)$

Это выражение можно последовательно упрощать, используя формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Шаг 1: Умножим первые две скобки.

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Выражение принимает вид:

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$ (заметим, что $b^2+a^2 = a^2+b^2$)

Шаг 2: Умножим следующие две скобки.

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4 - b^4$

Выражение принимает вид:

$(a^4 - b^4)(a^4 + b^4)$

Шаг 3: Умножим оставшиеся скобки.

$(a^4 - b^4)(a^4 + b^4) = (a^4)^2 - (b^4)^2 = a^8 - b^8$

Ответ: $a^8 - b^8$

г) $(a + b)^3 - 3ab(a + b)$

Используем формулу куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Раскроем первую скобку:

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Раскроем второе слагаемое:

$-3ab(a + b) = -3a^2b - 3ab^2$

Теперь сложим результаты:

$(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - 3a^2b - 3ab^2$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + b^3 + (3a^2b - 3a^2b) + (3ab^2 - 3ab^2) = a^3 + b^3$

Ответ: $a^3 + b^3$

д) $3ab(a - b) + (a - b)^3$

Используем формулу куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Раскроем первое слагаемое:

$3ab(a - b) = 3a^2b - 3ab^2$

Раскроем второе слагаемое:

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Теперь сложим результаты:

$(3a^2b - 3ab^2) + (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3)$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 - b^3 + (3a^2b - 3a^2b) + (-3ab^2 + 3ab^2) = a^3 - b^3$

Ответ: $a^3 - b^3$

е) $(a^2 - 2)(a^2 + 2) - (2 - a^2)^2$

Упростим каждую часть выражения по отдельности.

Первая часть - это разность квадратов:

$(a^2 - 2)(a^2 + 2) = (a^2)^2 - 2^2 = a^4 - 4$

Вторая часть - это квадрат разности:

$(2 - a^2)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot a^2 + (a^2)^2 = 4 - 4a^2 + a^4$

Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(a^4 - 4) - (4 - 4a^2 + a^4)$

Раскроем скобки, меняя знаки во второй скобке на противоположные:

$a^4 - 4 - 4 + 4a^2 - a^4$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^4 - a^4) + 4a^2 + (-4 - 4) = 4a^2 - 8$

Ответ: $4a^2 - 8$

438. а) $(5-a)(3-a)-(a-4)^2$;

Б) $(x+3)^2+3(x-2)^2$;

В) $3(2-m)^2+2(2-m)^2$;

Г) $5(2p-3)^2+2(5-2p)^2$;

Д) $4(3-5a)^2-5(a-3)(2a-3)$;

е) $(a+1)^2+2(a+1)-3(a-1)(a+1)$;

Ж) $3-2(5-x)(x-5)-2(5+x)^2$;

З) $(x-y-z)(x-y-z)-(x-y)^2$;

И) $(x+y+z)(x-y-z)-(x+y-z)(x-y+z)$;

К) $(x+y-z)(x-y+z)-(x+y+z)(x-y-z)$.

а) Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, и выполним умножение многочленов. $(5 - a)(3 - a) - (a - 4)^2 = (5 \cdot 3 - 5 \cdot a - a \cdot 3 + a \cdot a) - (a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2) = (15 - 5a - 3a + a^2) - (a^2 - 8a + 16) = (a^2 - 8a + 15) - (a^2 - 8a + 16) = a^2 - 8a + 15 - a^2 + 8a - 16 = -1$. Ответ: $-1$.

б) Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. $(x + 3)^2 + 3(x - 2)^2 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) + 3(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) = (x^2 + 6x + 9) + 3(x^2 - 4x + 4) = x^2 + 6x + 9 + 3x^2 - 12x + 12 = (x^2 + 3x^2) + (6x - 12x) + (9 + 12) = 4x^2 - 6x + 21$. Ответ: $4x^2 - 6x + 21$.

в) Выражения в скобках одинаковы, поэтому можно сложить коэффициенты перед ними, а затем раскрыть скобки. $3(2 - m)^2 + 2(2 - m)^2 = (3 + 2)(2 - m)^2 = 5(2 - m)^2 = 5(2^2 - 2 \cdot 2 \cdot m + m^2) = 5(4 - 4m + m^2) = 20 - 20m + 5m^2$. Ответ: $5m^2 - 20m + 20$.

г) Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности, и приведем подобные слагаемые. $5(2p - 3)^2 + 2(5 - 2p)^2 = 5((2p)^2 - 2 \cdot 2p \cdot 3 + 3^2) + 2(5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2p + (2p)^2) = 5(4p^2 - 12p + 9) + 2(25 - 20p + 4p^2) = 20p^2 - 60p + 45 + 50 - 40p + 8p^2 = (20p^2 + 8p^2) + (-60p - 40p) + (45 + 50) = 28p^2 - 100p + 95$. Ответ: $28p^2 - 100p + 95$.

д) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. $4(3 - 5a)^2 - 5(a - 3)(2a - 3) = 4(3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5a + (5a)^2) - 5(a \cdot 2a - 3a - 3 \cdot 2a + 9) = 4(9 - 30a + 25a^2) - 5(2a^2 - 9a + 9) = 36 - 120a + 100a^2 - 10a^2 + 45a - 45 = (100a^2 - 10a^2) + (-120a + 45a) + (36 - 45) = 90a^2 - 75a - 9$. Ответ: $90a^2 - 75a - 9$.

е) Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. $(a + 1)^2 + 2(a + 1) - 3(a - 1)(a + 1) = (a^2 + 2a + 1) + (2a + 2) - 3(a^2 - 1^2) = a^2 + 2a + 1 + 2a + 2 - 3(a^2 - 1) = a^2 + 4a + 3 - 3a^2 + 3 = (a^2 - 3a^2) + 4a + (3 + 3) = -2a^2 + 4a + 6$. Ответ: $-2a^2 + 4a + 6$.

ж) Упростим выражение. Заметим, что $(5-x)(x-5) = -(x-5)(x-5) = -(x-5)^2$. $3 - 2(5 - x)(x - 5) - 2(5 + x)^2 = 3 - 2(-(x - 5)^2) - 2(x + 5)^2 = 3 + 2(x - 5)^2 - 2(x + 5)^2 = 3 + 2(x^2 - 10x + 25) - 2(x^2 + 10x + 25) = 3 + 2x^2 - 20x + 50 - 2x^2 - 20x - 50 = (2x^2 - 2x^2) + (-20x - 20x) + (3 + 50 - 50) = -40x + 3$. Ответ: $3 - 40x$.

з) Представим выражение в виде квадрата и упростим. $(x - y - z)(x - y - z) - (x - y)^2 = (x - y - z)^2 - (x - y)^2$. Сгруппируем слагаемые: $((x - y) - z)^2 - (x - y)^2$. Пусть $A = x - y$, тогда выражение примет вид $(A - z)^2 - A^2$. Раскроем скобки: $(A^2 - 2Az + z^2) - A^2 = -2Az + z^2$. Подставим обратно $A = x - y$: $-2(x - y)z + z^2 = -2xz + 2yz + z^2$. Ответ: $z^2 + 2yz - 2xz$.

и) Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. $(x + y + z)(x - y - z) - (x + y - z)(x - y + z) = (x + (y + z))(x - (y + z)) - (x + (y - z))(x - (y - z)) = (x^2 - (y + z)^2) - (x^2 - (y - z)^2) = x^2 - (y^2 + 2yz + z^2) - (x^2 - (y^2 - 2yz + z^2)) = x^2 - y^2 - 2yz - z^2 - x^2 + y^2 - 2yz + z^2 = (-2yz - 2yz) = -4yz$. Ответ: $-4yz$.

к) Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов. Это выражение противоположно по знаку выражению из пункта и). $(x + y - z)(x - y + z) - (x + y + z)(x - y - z) = (x + (y - z))(x - (y - z)) - (x + (y + z))(x - (y + z)) = (x^2 - (y - z)^2) - (x^2 - (y + z)^2) = x^2 - (y^2 - 2yz + z^2) - (x^2 - (y^2 + 2yz + z^2)) = x^2 - y^2 + 2yz - z^2 - x^2 + y^2 + 2yz + z^2 = (2yz + 2yz) = 4yz$. Ответ: $4yz$.