Номер 433, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.9. Применение формул сокращённого умножения. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 433, страница 116.

Условие.

433. Упростите выражение:

а) $ (a + 1)^2 - 2(a + 1) + 1; $

б) $ (m - n)^2 + 2n(m - n) + n^2; $

в) $ (p - q)^2 - 2(p^2 - q^2) + (p + q)^2; $

г) $ (x + 2u)^2 + 2(x^2 - 4u^2) + (2u - x)^2. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $(a + 1)^2 - 2(a + 1) + 1$

Данное выражение представляет собой формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Сделаем замену: пусть $x = (a + 1)$ и $y = 1$.

Тогда выражение принимает вид: $x^2 - 2x \cdot 1 + 1^2 = (x - 1)^2$.

Теперь подставим обратно значение $x$:

$((a + 1) - 1)^2 = (a + 1 - 1)^2 = a^2$.

Другой способ решения — раскрыть все скобки:

$(a^2 + 2a + 1) - 2(a + 1) + 1 = a^2 + 2a + 1 - 2a - 2 + 1 = a^2 + (2a - 2a) + (1 - 2 + 1) = a^2$.

Ответ: $a^2$

б) $(m - n)^2 + 2n(m - n) + n^2$

Это выражение можно упростить, заметив, что оно похоже на формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Сделаем замену: пусть $x = (m - n)$ и $y = n$.

Тогда выражение принимает вид: $x^2 + 2yx + y^2 = (x + y)^2$.

Подставим обратно значения $x$ и $y$:

$((m - n) + n)^2 = (m - n + n)^2 = m^2$.

Другой способ решения — раскрыть все скобки:

$(m^2 - 2mn + n^2) + (2mn - 2n^2) + n^2 = m^2 - 2mn + n^2 + 2mn - 2n^2 + n^2 = m^2 + (-2mn + 2mn) + (n^2 - 2n^2 + n^2) = m^2$.

Ответ: $m^2$

в) $(p - q)^2 - 2(p^2 - q^2) + (p + q)^2$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для среднего члена: $p^2 - q^2 = (p - q)(p + q)$.

Выражение преобразуется к виду: $(p - q)^2 - 2(p - q)(p + q) + (p + q)^2$.

Это формула квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Сделаем замену: пусть $x = (p - q)$ и $y = (p + q)$.

Выражение принимает вид: $(x - y)^2$.

Подставим обратно значения $x$ и $y$:

$((p - q) - (p + q))^2 = (p - q - p - q)^2 = (-2q)^2 = 4q^2$.

Другой способ решения — раскрыть все скобки:

$(p^2 - 2pq + q^2) - 2p^2 + 2q^2 + (p^2 + 2pq + q^2) = p^2 - 2pq + q^2 - 2p^2 + 2q^2 + p^2 + 2pq + q^2 = (p^2 - 2p^2 + p^2) + (-2pq + 2pq) + (q^2 + 2q^2 + q^2) = 4q^2$.

Ответ: $4q^2$

г) $(x + 2y)^2 + 2(x^2 - 4y^2) + (2y - x)^2$

Преобразуем выражение. Заметим, что $(2y - x)^2 = (-(x - 2y))^2 = (x - 2y)^2$. Также используем формулу разности квадратов для среднего члена: $x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y)$.

Подставив это в исходное выражение, получим: $(x + 2y)^2 + 2(x - 2y)(x + 2y) + (x - 2y)^2$.

Это формула квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Сделаем замену: пусть $a = (x + 2y)$ и $b = (x - 2y)$.

Выражение принимает вид: $(a + b)^2$.

Подставим обратно значения $a$ и $b$:

$((x + 2y) + (x - 2y))^2 = (x + 2y + x - 2y)^2 = (2x)^2 = 4x^2$.

Другой способ решения — раскрыть все скобки:

$(x^2 + 4xy + 4y^2) + (2x^2 - 8y^2) + (4y^2 - 4xy + x^2) = (x^2 + 2x^2 + x^2) + (4xy - 4xy) + (4y^2 - 8y^2 + 4y^2) = 4x^2$.

Ответ: $4x^2$