Номер 435, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.9. Применение формул сокращённого умножения. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 435, страница 116.

Условие.

435. a) $(a+b+c+d)(a+b-c-d);$

б) $(a-b+c+d)(a-b-c-d);$

в) $(a+b-c+d)(a+b+c-d);$

г) $(a-b-c+d)(a-b+c-d).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) $(a + b + c + d)(a + b - c - d)$

Для решения сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы использовать формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

Выражение можно представить в виде $((a + b) + (c + d))((a + b) - (c + d))$.

Здесь мы видим формулу разности квадратов, где $x = (a+b)$ и $y = (c+d)$.

Применим формулу: $((a+b) + (c+d))((a+b) - (c+d)) = (a+b)^2 - (c+d)^2$.

Теперь раскроем квадраты, используя формулы квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(c+d)^2 = c^2 + 2cd + d^2$

Подставим раскрытые скобки в наше выражение и упростим:

$(a^2 + 2ab + b^2) - (c^2 + 2cd + d^2) = a^2 + 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2$.

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2$.

б) $(a - b + c + d)(a - b - c - d)$

Сгруппируем слагаемые аналогично предыдущему пункту для применения формулы разности квадратов.

Представим выражение в виде: $((a - b) + (c + d))((a - b) - (c + d))$.

Пусть $x = (a-b)$ и $y = (c+d)$. Выражение становится $(x+y)(x-y)$, что равно $x^2 - y^2$.

Подставим обратно: $(a-b)^2 - (c+d)^2$.

Раскроем квадраты, используя формулы квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и квадрата суммы:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(c+d)^2 = c^2 + 2cd + d^2$

Подставим в выражение и упростим:

$(a^2 - 2ab + b^2) - (c^2 + 2cd + d^2) = a^2 - 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2$.

Ответ: $a^2 - 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2$.

в) $(a + b - c + d)(a + b + c - d)$

Снова воспользуемся методом группировки. Перегруппируем слагаемые в скобках, чтобы выделить общие части и применить формулу разности квадратов.

$(a + b - c + d) = ((a+b) + (d-c))$

$(a + b + c - d) = ((a+b) - (d-c))$

Теперь выражение имеет вид: $((a+b) + (d-c))((a+b) - (d-c))$.

Пусть $x = (a+b)$ и $y = (d-c)$. Выражение принимает вид $(x+y)(x-y)$, что равно $x^2 - y^2$.

Подставим обратно: $(a+b)^2 - (d-c)^2$.

Раскроем квадраты:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(d-c)^2 = d^2 - 2cd + c^2$

Подставим в выражение и упростим:

$(a^2 + 2ab + b^2) - (d^2 - 2cd + c^2) = a^2 + 2ab + b^2 - d^2 + 2cd - c^2$.

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2 - c^2 + 2cd - d^2$.

г) $(a - b - c + d)(a - b + c - d)$

Сгруппируем слагаемые в скобках. Для этого изменим порядок слагаемых.

$(a - b - c + d) = ((a-b) - (c-d))$

$(a - b + c - d) = ((a-b) + (c-d))$

Выражение принимает вид: $((a-b) - (c-d))((a-b) + (c-d))$.

Пусть $x = (a-b)$ и $y = (c-d)$. Выражение становится $(x-y)(x+y)$, что равно $x^2 - y^2$.

Подставим обратно: $(a-b)^2 - (c-d)^2$.

Раскроем квадраты:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(c-d)^2 = c^2 - 2cd + d^2$

Подставим в выражение и упростим:

$(a^2 - 2ab + b^2) - (c^2 - 2cd + d^2) = a^2 - 2ab + b^2 - c^2 + 2cd - d^2$.

Ответ: $a^2 - 2ab + b^2 - c^2 + 2cd - d^2$.