Номер 428, страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.8. Куб разности. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 428, страница 115.

Условие.

428. Упростите выражение двумя способами:

а) $(x - 1)^3 - (x + 1)^3$;

б) $(x + 2)^3 + (x - 2)^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $(x-1)^3 - (x+1)^3$

Способ 1: Раскрытие скобок по формулам куба разности и куба суммы.

Используем формулы:
куб разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
куб суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Раскроем каждую скобку:

$(x-1)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

$(x+1)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

Теперь выполним вычитание:

$(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3 - 3x^2 - 3x - 1$

Приведем подобные члены:

$(x^3 - x^3) + (-3x^2 - 3x^2) + (3x - 3x) + (-1 - 1) = -6x^2 - 2$

Способ 2: Применение формулы разности кубов.

Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

В данном случае $a = x-1$ и $b = x+1$.

Подставим в формулу:

$((x-1) - (x+1)) \cdot ((x-1)^2 + (x-1)(x+1) + (x+1)^2)$

Упростим первую скобку:

$(x-1) - (x+1) = x - 1 - x - 1 = -2$

Упростим вторую скобку:

$(x^2 - 2x + 1) + (x^2 - 1) + (x^2 + 2x + 1) = x^2 - 2x + 1 + x^2 - 1 + x^2 + 2x + 1 = 3x^2 + 1$

Теперь перемножим результаты:

$-2 \cdot (3x^2 + 1) = -6x^2 - 2$

Ответ: $-6x^2 - 2$

б) $(x+2)^3 + (x-2)^3$

Способ 1: Раскрытие скобок по формулам куба суммы и куба разности.

Используем те же формулы, что и в пункте а).

Раскроем каждую скобку:

$(x+2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

$(x-2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Теперь выполним сложение:

$(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) + (x^3 - 6x^2 + 12x - 8)$

Приведем подобные члены:

$(x^3 + x^3) + (6x^2 - 6x^2) + (12x + 12x) + (8 - 8) = 2x^3 + 24x$

Способ 2: Применение формулы суммы кубов.

Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном случае $a = x+2$ и $b = x-2$.

Подставим в формулу:

$((x+2) + (x-2)) \cdot ((x+2)^2 - (x+2)(x-2) + (x-2)^2)$

Упростим первую скобку:

$(x+2) + (x-2) = x + 2 + x - 2 = 2x$

Упростим вторую скобку:

$(x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 4) + (x^2 - 4x + 4) = x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4 + x^2 - 4x + 4 = x^2 + 12$

Теперь перемножим результаты:

$2x \cdot (x^2 + 12) = 2x^3 + 24x$

Ответ: $2x^3 + 24x$