Номер 422, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.8. Куб разности. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 422, страница 114.

Условие.

422. Заполните пропуски, применив формулу куба разности:

а) $(x-y)^3 = ...$;

б) $m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3 = ....$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы заполнить пропуск в выражении $(x-y)^3 = ...$, необходимо применить формулу сокращенного умножения, которая называется "куб разности".

Формула куба разности имеет следующий вид: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В данном выражении переменная $x$ соответствует $a$, а переменная $y$ соответствует $b$. Подставим $x$ и $y$ в формулу:

$(x - y)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot y + 3 \cdot x \cdot y^2 - y^3$

В результате раскрытия скобок получаем многочлен: $x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Ответ: $x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

б) В этом задании необходимо выполнить обратное действие: представить многочлен $m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3$ в виде куба двучлена.

Для этого снова воспользуемся формулой куба разности, но в обратном порядке: $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3$.

Сравним заданный многочлен $m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3$ с левой частью формулы. Определим, чему равны $a$ и $b$.

Первый член многочлена $m^3$ соответствует $a^3$, из чего следует, что $a = m$.

Последний член многочлена $-n^3$ соответствует $-b^3$, из чего следует, что $b = n$.

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли второй и третий члены многочлена формуле при найденных $a$ и $b$.

Второй член по формуле: $-3a^2b$. Подставляем $a=m$ и $b=n$, получаем $-3m^2n$. Это совпадает со вторым членом заданного многочлена.

Третий член по формуле: $3ab^2$. Подставляем $a=m$ и $b=n$, получаем $3mn^2$. Это совпадает с третьим членом заданного многочлена.

Так как все члены многочлена полностью соответствуют развернутой формуле куба разности, его можно "свернуть" в $(m - n)^3$.

Ответ: $(m - n)^3$.