Номер 419, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.7. Куб суммы. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 419, страница 114.

Условие.

419. Выясните, является ли многочлен кубом какого-либо двучлена:

а) $8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$;

б) $a^3 + 3a^2 + 3a + 1$;

в) $27 + 27b + 9b^2 + b^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы определить, является ли многочлен $8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$ кубом двучлена, воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Предположим, что наш многочлен является кубом двучлена. Тогда первый член $8x^3$ должен быть кубом первого слагаемого двучлена ($a^3$), а последний член $y^3$ – кубом второго слагаемого ($b^3$).

Находим $a$ и $b$:

• $a^3 = 8x^3 \implies a = \sqrt[3]{8x^3} = 2x$
• $b^3 = y^3 \implies b = \sqrt[3]{y^3} = y$

Таким образом, предполагаемый двучлен – это $(2x+y)$.

Теперь проверим, соответствуют ли остальные члены многочлена ($12x^2y$ и $6xy^2$) членам из формулы $3a^2b$ и $3ab^2$:

• Утроенное произведение квадрата первого слагаемого на второе: $3a^2b = 3 \cdot (2x)^2 \cdot y = 3 \cdot 4x^2 \cdot y = 12x^2y$. Этот член совпадает со вторым членом исходного многочлена.
• Утроенное произведение первого слагаемого на квадрат второго: $3ab^2 = 3 \cdot (2x) \cdot y^2 = 6xy^2$. Этот член совпадает с третьим членом исходного многочлена.

Так как все члены многочлена соответствуют разложению по формуле куба суммы для двучлена $(2x+y)$, данный многочлен является его кубом.

$8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 = (2x+y)^3$

Ответ: да, является кубом двучлена $(2x+y)$.

б) Рассмотрим многочлен $a^3 + 3a^2 + 3a + 1$. Снова применим формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Определим предполагаемые слагаемые двучлена, $x$ и $y$.

• Первый член многочлена $a^3$ соответствует $x^3$, значит $x = \sqrt[3]{a^3} = a$.
• Последний член многочлена $1$ соответствует $y^3$, значит $y = \sqrt[3]{1} = 1$.

Предполагаемый двучлен – это $(a+1)$.

Проверим средние члены многочлена:

• $3x^2y = 3 \cdot a^2 \cdot 1 = 3a^2$. Совпадает со вторым членом.
• $3xy^2 = 3 \cdot a \cdot 1^2 = 3a$. Совпадает с третьим членом.

Все члены многочлена совпадают с разложением куба суммы двучлена $(a+1)$.

$a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = (a+1)^3$

Ответ: да, является кубом двучлена $(a+1)$.

в) Рассмотрим многочлен $27 + 27b + 9b^2 + b^3$. Для удобства можно переписать его в порядке убывания степеней переменной $b$: $b^3 + 9b^2 + 27b + 27$.

Используем ту же формулу куба суммы $(a+x)^3 = a^3 + 3a^2x + 3ax^2 + x^3$.

Определим предполагаемые слагаемые двучлена, работая с исходным видом многочлена $27 + 27b + 9b^2 + b^3$.

• Пусть $a^3 = 27$, тогда $a = \sqrt[3]{27} = 3$.
• Пусть $x^3 = b^3$, тогда $x = \sqrt[3]{b^3} = b$.

Предполагаемый двучлен – это $(3+b)$.

Проверим, совпадают ли средние члены с формулой:

• $3a^2x = 3 \cdot 3^2 \cdot b = 3 \cdot 9 \cdot b = 27b$. Совпадает со вторым членом.
• $3ax^2 = 3 \cdot 3 \cdot b^2 = 9b^2$. Совпадает с третьим членом.

Многочлен полностью соответствует разложению куба суммы двучлена $(3+b)$.

$27 + 27b + 9b^2 + b^3 = (3+b)^3$

Ответ: да, является кубом двучлена $(3+b)$.