Номер 418, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.7. Куб суммы. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 418, страница 114.

Условие.

418. Запишите выражение в виде степени двучлена:

а) $a^2 + 2ab + b^2;$

б) $a^2 - 2ab + b^2;$

в) $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;$

г) $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Данное выражение $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы. Мы используем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы двух чисел: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае $x=a$ и $y=b$. Таким образом, выражение сворачивается в квадрат двучлена $(a+b)$.
Ответ: $(a+b)^2$.

б) Выражение $a^2 - 2ab + b^2$ представляет собой полный квадрат разности. Применим формулу сокращенного умножения для квадрата разности двух чисел: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x=a$ и $y=b$. Следовательно, выражение равно квадрату двучлена $(a-b)$.
Ответ: $(a-b)^2$.

в) Выражение $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ соответствует формуле куба суммы двух чисел: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$. В данном случае $x=a$ и $y=b$. Поэтому выражение можно записать в виде куба двучлена $(a+b)$.
Ответ: $(a+b)^3$.

г) Рассмотрим выражение $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$. Попробуем представить его в виде куба суммы, используя формулу $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
Первый член выражения — $a^3$, что соответствует $x^3$, значит, можно предположить, что $x=a$.
Последний член выражения — $8b^3$, что равно $(2b)^3$. Это соответствует $y^3$, значит, можно предположить, что $y=2b$.
Теперь проверим, соответствуют ли средние члены формуле с нашими $x=a$ и $y=2b$:

• Второй член должен быть $3x^2y = 3 \cdot a^2 \cdot (2b) = 6a^2b$. Это совпадает со вторым членом исходного выражения.
• Третий член должен быть $3xy^2 = 3 \cdot a \cdot (2b)^2 = 3 \cdot a \cdot 4b^2 = 12ab^2$. Это совпадает с третьим членом исходного выражения.

Так как все члены совпадают, исходное выражение является кубом двучлена $(a+2b)$.
Ответ: $(a+2b)^3$.