Номер 411, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.6. Разность кубов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 411, страница 112.

Условие.

411. Упростите выражение:

а) $(x - 1)(x^2 + x + 1) - (1 + x)(1 - x + x^2)$;

б) $(a^2 - 3)(a^4 + 3a^2 + 9) + a^4(1 - a)(1 + a)$;

в) $2p^2(2 - p)(p^2 + 2p + 4) - 4(p - 5)(5 + p)$;

г) $n^5(2 + n^2)(n^2 - 2) - (m - n^3)(m^2 + mn^3 + n^6)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $(x - 1)(x^2 + x + 1) - (1 + x)(1 - x + x^2)$
Для упрощения выражения используем формулы сокращенного умножения: разность кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и сумма кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Первое произведение $(x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2)$ является разностью кубов, где $a=x$ и $b=1$. Таким образом, оно равно $x^3 - 1^3 = x^3 - 1$.
Второе произведение $(1 + x)(1^2 - 1 \cdot x + x^2)$ является суммой кубов, где $a=1$ и $b=x$. Таким образом, оно равно $1^3 + x^3 = 1 + x^3$.
Теперь выполним вычитание: $(x^3 - 1) - (1 + x^3) = x^3 - 1 - 1 - x^3 = -2$.
Ответ: $-2$.

б) $(a^2 - 3)(a^4 + 3a^2 + 9) + a^4(1 - a)(1 + a)$
Первое слагаемое $(a^2 - 3)((a^2)^2 + 3a^2 + 3^2)$ является формулой разности кубов, где $a=a^2$ и $b=3$. Оно равно $(a^2)^3 - 3^3 = a^6 - 27$.
Во втором слагаемом используем формулу разности квадратов $(1 - a)(1 + a) = 1^2 - a^2 = 1 - a^2$.
Тогда второе слагаемое равно $a^4(1 - a^2) = a^4 - a^6$.
Сложим полученные выражения: $(a^6 - 27) + (a^4 - a^6) = a^6 - 27 + a^4 - a^6 = a^4 - 27$.
Ответ: $a^4 - 27$.

в) $2p^2(2 - p)(p^2 + 2p + 4) - 4(p - 5)(5 + p)$
Рассмотрим первое слагаемое. Выражение $(2 - p)(p^2 + 2p + 4)$ можно записать как $(2 - p)(4 + 2p + p^2)$, что является формулой разности кубов $a^3-b^3$. Здесь $a=2, b=p$. Оно равно $2^3 - p^3 = 8 - p^3$.
Умножим на $2p^2$: $2p^2(8 - p^3) = 16p^2 - 2p^5$.
Рассмотрим второе слагаемое. Выражение $(p - 5)(5 + p)$ является формулой разности квадратов $(p-5)(p+5) = p^2-5^2 = p^2-25$.
Умножим на $-4$: $-4(p^2 - 25) = -4p^2 + 100$.
Сложим полученные выражения: $(16p^2 - 2p^5) + (-4p^2 + 100) = 16p^2 - 2p^5 - 4p^2 + 100 = -2p^5 + 12p^2 + 100$.
Ответ: $-2p^5 + 12p^2 + 100$.

г) $n^5(2 + n^2)(n^2 - 2) - (m - n^3)(m^2 + mn^3 + n^6)$
В первом члене используем формулу разности квадратов для $(2 + n^2)(n^2 - 2) = (n^2)^2 - 2^2 = n^4 - 4$.
Умножим на $n^5$: $n^5(n^4 - 4) = n^9 - 4n^5$.
Во втором члене видим формулу разности кубов $(m - n^3)(m^2 + m(n^3) + (n^3)^2)$. Она равна $m^3 - (n^3)^3 = m^3 - n^9$.
Теперь выполним вычитание: $(n^9 - 4n^5) - (m^3 - n^9) = n^9 - 4n^5 - m^3 + n^9 = 2n^9 - 4n^5 - m^3$.
Ответ: $2n^9 - 4n^5 - m^3$.