Номер 410, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.6. Разность кубов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 410, страница 112.

Условие.

410. Подберите одночлены A, B и С так, чтобы выполнялось равенство:

a) $x^3 + A = (x + B)(x^2 - 4x + 16);$

б) $A - 8c^6 = (3a - B)(C + 6ac^2 + 4c^4);$

в) $B - 125m^9 = (A - 5m^3)(a^2 + 5am^3 + 25m^6);$

г) $64m^9 + A = (4m^3 + C)(16m^6 - B + 4a^8).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) $x^3 + A = (x + B)(x^2 - 4x + 16)$

Правая часть равенства похожа на формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Сравним выражение $(x + B)(x^2 - 4x + 16)$ с формулой $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Пусть $a = x$. Тогда второй множитель в формуле примет вид $(x^2 - xb + b^2)$. Сравнивая его с данным выражением $(x^2 - 4x + 16)$, получаем:

$xb = 4x \implies b = 4$

$b^2 = 16 \implies 4^2 = 16$. Совпадает.

Значит, $b=4$.

Теперь рассмотрим первый множитель $(x+B)$. По формуле он должен быть равен $(a+b)$, то есть $(x+4)$. Отсюда следует, что $B=4$.

Левая часть равенства по формуле равна $a^3+b^3$. Подставив наши значения $a=x$ и $b=4$, получим $x^3+4^3 = x^3+64$.

В исходном уравнении левая часть равна $x^3+A$. Следовательно, $A=64$.

Ответ: $A=64$, $B=4$.

б) $A - 8c^6 = (3a - B)(C + 6ac^2 + 4c^4)$

Данное равенство похоже на формулу разности кубов: $u^3 - v^3 = (u - v)(u^2 + uv + v^2)$.

Преобразуем левую часть: $A - 8c^6 = A - (2c^2)^3$. Это позволяет предположить, что $v = 2c^2$.

Первый множитель в правой части — $(3a - B)$. Сравнивая его с $(u-v)$, можно предположить, что $u=3a$ и $B=v=2c^2$.

Проверим второй множитель. По формуле он должен быть равен $(u^2 + uv + v^2)$. Подставим $u=3a$ и $v=2c^2$:

$u^2 = (3a)^2 = 9a^2$

$uv = (3a)(2c^2) = 6ac^2$

$v^2 = (2c^2)^2 = 4c^4$

Таким образом, второй множитель должен быть $(9a^2 + 6ac^2 + 4c^4)$. В условии дан множитель $(C + 6ac^2 + 4c^4)$. Сравнивая их, находим, что $C = 9a^2$.

Теперь найдем $A$. Левая часть по формуле равна $u^3-v^3 = (3a)^3 - (2c^2)^3 = 27a^3 - 8c^6$. В исходном уравнении левая часть равна $A - 8c^6$. Отсюда $A=27a^3$.

Ответ: $A=27a^3$, $B=2c^2$, $C=9a^2$.

в) $B - 125m^9 = (A - 5m^3)(a^2 + 5am^3 + 25m^6)$

Данное равенство также похоже на формулу разности кубов: $u^3 - v^3 = (u - v)(u^2 + uv + v^2)$.

Рассмотрим второй множитель в правой части: $(a^2 + 5am^3 + 25m^6)$. Его можно представить в виде $(a)^2 + (a)(5m^3) + (5m^3)^2$. Это соответствует части формулы $(u^2+uv+v^2)$ при $u=a$ и $v=5m^3$.

Первый множитель в правой части — $(A - 5m^3)$. По формуле он должен быть равен $(u-v)$, то есть $(a-5m^3)$. Сравнивая их, получаем $A=a$.

Левая часть равенства по формуле равна $u^3-v^3 = a^3 - (5m^3)^3 = a^3 - 125m^9$.

В исходном уравнении левая часть равна $B - 125m^9$. Следовательно, $B=a^3$.

Ответ: $A=a$, $B=a^3$.

г) $64m^9 + A = (4m^3 + C)(16m^6 - B + 4a^8)$

Это равенство похоже на формулу суммы кубов: $u^3 + v^3 = (u + v)(u^2 - uv + v^2)$.

Преобразуем левую часть: $64m^9 + A = (4m^3)^3 + A$. Это позволяет предположить, что $u=4m^3$.

Первый множитель в правой части — $(4m^3 + C)$. Сравнивая его с $(u+v)$, получаем, что $v=C$.

Второй множитель по формуле должен быть равен $(u^2 - uv + v^2)$. Подставим $u=4m^3$ и $v=C$:

$( (4m^3)^2 - (4m^3)C + C^2 ) = (16m^6 - 4m^3C + C^2)$.

Сравним это выражение с данным в условии вторым множителем $(16m^6 - B + 4a^8)$.

Приравнивая соответствующие одночлены, получаем систему:

$C^2 = 4a^8 \implies C = \sqrt{4a^8} = 2a^4$.

$B = 4m^3C$. Подставив найденное значение $C$, получаем $B = 4m^3(2a^4) = 8m^3a^4$.

Теперь найдем $A$. Левая часть по формуле равна $u^3+v^3 = (4m^3)^3 + (2a^4)^3 = 64m^9 + 8a^{12}$.

В исходном уравнении левая часть равна $64m^9 + A$. Следовательно, $A = 8a^{12}$.

Ответ: $A=8a^{12}$, $B=8m^3a^4$, $C=2a^4$.