Страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

406. Является ли выражение полным или неполным квадратом суммы:

а) $x^2 + x + 1;$

б) $4 + 4x + x^2;$

в) $a^2 + 6ab + 9b^2;$

г) $100 + 10x + x^2;$

д) $\frac{1}{4}m^2 + \frac{1}{2}m + 1;$

е) $4p + 1 + 4p^2;$

ж) $0,25m^2 + mn + n^2;$

з) $4p^2 + \frac{1}{16}q^2 + pq?$

Для того чтобы определить, является ли выражение полным или неполным квадратом суммы, нужно сравнить его с формулой полного квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Если выражение соответствует этой формуле, оно является полным квадратом суммы. Если же средний член равен не удвоенному произведению $2ab$, а просто произведению $ab$, то выражение вида $a^2 + ab + b^2$ является неполным квадратом суммы.

а) $x^2 + x + 1$

В этом выражении можно предположить, что $a=x$ и $b=1$. Тогда $a^2 = x^2$ и $b^2 = 1^2 = 1$. Удвоенное произведение этих членов равно $2ab = 2 \cdot x \cdot 1 = 2x$. В данном выражении средний член равен $x$, что не совпадает с $2x$. Однако он совпадает с простым произведением $ab = x \cdot 1 = x$. Следовательно, это неполный квадрат суммы.

Ответ: неполный квадрат суммы.

б) $4 + 4x + x^2$

Перепишем выражение в стандартном виде: $x^2 + 4x + 4$. Здесь $a^2 = x^2$ (значит $a=x$) и $b^2 = 4$ (значит $b=2$). Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$. Он совпадает со средним членом в выражении. Следовательно, это полный квадрат суммы, который можно записать как $(x+2)^2$.

Ответ: полный квадрат суммы.

в) $a^2 + 6ab + 9b^2$

В этом выражении первый член $a^2$ является квадратом $a$, а третий член $9b^2$ является квадратом $3b$. Проверим, является ли средний член удвоенным произведением $a$ и $3b$: $2 \cdot a \cdot (3b) = 6ab$. Это совпадает со средним членом в выражении. Следовательно, это полный квадрат суммы, равный $(a+3b)^2$.

Ответ: полный квадрат суммы.

г) $100 + 10x + x^2$

Перепишем выражение: $x^2 + 10x + 100$. Здесь $a^2=x^2$ (т.е. $a=x$) и $b^2=100$ (т.е. $b=10$). Удвоенное произведение должно быть $2ab = 2 \cdot x \cdot 10 = 20x$. В выражении средний член равен $10x$. Это не полный квадрат. Простое произведение $ab = x \cdot 10 = 10x$, что совпадает со средним членом. Следовательно, это неполный квадрат суммы.

Ответ: неполный квадрат суммы.

д) $\frac{1}{4}m^2 + \frac{1}{2}m + 1$

Здесь $a^2 = \frac{1}{4}m^2$ (т.е. $a=\frac{1}{2}m$) и $b^2 = 1$ (т.е. $b=1$). Удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot \frac{1}{2}m \cdot 1 = m$. В выражении средний член равен $\frac{1}{2}m$. Это не полный квадрат. Простое произведение $ab = \frac{1}{2}m \cdot 1 = \frac{1}{2}m$, что совпадает со средним членом. Следовательно, это неполный квадрат суммы.

Ответ: неполный квадрат суммы.

е) $4p + 1 + 4p^2$

Переставим члены: $4p^2 + 4p + 1$. Здесь $a^2=4p^2$ (значит $a=2p$) и $b^2=1$ (значит $b=1$). Удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot (2p) \cdot 1 = 4p$. Это совпадает со средним членом в выражении. Следовательно, это полный квадрат суммы, равный $(2p+1)^2$.

Ответ: полный квадрат суммы.

ж) $0,25m^2 + mn + n^2$

Здесь $a^2 = 0,25m^2 = (0,5m)^2$ (значит $a=0,5m$) и $b^2 = n^2$ (значит $b=n$). Удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot (0,5m) \cdot n = mn$. Это совпадает со средним членом в выражении. Следовательно, это полный квадрат суммы, равный $(0,5m+n)^2$.

Ответ: полный квадрат суммы.

з) $4p^2 + \frac{1}{16}q^2 + pq$

Переставим члены для удобства: $4p^2 + pq + \frac{1}{16}q^2$. Здесь $a^2=4p^2$ (значит $a=2p$) и $b^2 = \frac{1}{16}q^2$ (значит $b=\frac{1}{4}q$). Удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot (2p) \cdot (\frac{1}{4}q) = 4p \cdot \frac{1}{4}q = pq$. Это совпадает со средним членом в выражении. Следовательно, это полный квадрат суммы, равный $(2p+\frac{1}{4}q)^2$.

Ответ: полный квадрат суммы.

407. Запишите выражение в виде многочлена:

а) $(x - y)(x^2 + xy + y^2);$

б) $(5 - a)(a^2 + 5a + 25);$

в) $(2m - 5n)(4m^2 + 10mn + 25n^2);$

г) $(7p + q)(49p^2 - 7pq + q^2);$

д) $(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y)(\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{6}xy + \frac{1}{9}y^2);$

е) $(0,1a - 0,2b)(0,04b^2 + 0,02ab + 0,01a^2).$

а) Данное выражение представляет собой произведение разности двух выражений на их неполный квадрат суммы. Это формула сокращенного умножения, известная как "разность кубов": $ (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 $. В данном случае $a = x$ и $b = y$. Применив формулу, получаем:
$ (x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3 $
Ответ: $x^3 - y^3$

б) Это выражение также соответствует формуле разности кубов. Для наглядности можно поменять местами слагаемые во второй скобке: $ (5 - a)(25 + 5a + a^2) $. Используем формулу $ (c - d)(c^2 + cd + d^2) = c^3 - d^3 $, где $c = 5$ и $d = a$. Проверим, соответствует ли вторая скобка формуле: $c^2 = 5^2 = 25$, $cd = 5 \cdot a = 5a$, $d^2 = a^2$. Вторая скобка $ (a^2 + 5a + 25) $ является неполным квадратом суммы $5$ и $a$.
Следовательно, $ (5 - a)(a^2 + 5a + 25) = 5^3 - a^3 = 125 - a^3 $.
Ответ: $125 - a^3$

в) Выражение $ (2m - 5n)(4m^2 + 10mn + 25n^2) $ является примером формулы разности кубов $ (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 $. Здесь в качестве $a$ выступает $2m$, а в качестве $b$ - $5n$. Проверим компоненты второй скобки:
Квадрат первого члена: $ (2m)^2 = 4m^2 $.
Произведение первого и второго членов: $ (2m)(5n) = 10mn $.
Квадрат второго члена: $ (5n)^2 = 25n^2 $.
Вторая скобка $ (4m^2 + 10mn + 25n^2) $ является неполным квадратом суммы $2m$ и $5n$.
Таким образом, $ (2m - 5n)(4m^2 + 10mn + 25n^2) = (2m)^3 - (5n)^3 = 8m^3 - 125n^3 $.
Ответ: $8m^3 - 125n^3$

г) Данное выражение является произведением суммы двух выражений на их неполный квадрат разности. Это формула "суммы кубов": $ (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 $. В этом примере $a = 7p$ и $b = q$. Проверим вторую скобку: $a^2 = (7p)^2 = 49p^2$, $ab = (7p)(q) = 7pq$, $b^2 = q^2$. Вторая скобка $ (49p^2 - 7pq + q^2) $ соответствует формуле.
Следовательно, $ (7p + q)(49p^2 - 7pq + q^2) = (7p)^3 + q^3 = 343p^3 + q^3 $.
Ответ: $343p^3 + q^3$

д) Это выражение также преобразуется по формуле разности кубов: $ (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 $. В данном случае $a = \frac{1}{2}x$ и $b = \frac{1}{3}y$.
Проверим вторую скобку:
$a^2 = (\frac{1}{2}x)^2 = \frac{1}{4}x^2$.
$ab = (\frac{1}{2}x)(\frac{1}{3}y) = \frac{1}{6}xy$.
$b^2 = (\frac{1}{3}y)^2 = \frac{1}{9}y^2$.
Вторая скобка $ (\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{6}xy + \frac{1}{9}y^2) $ верна.
Значит, $ (\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y)(\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{6}xy + \frac{1}{9}y^2) = (\frac{1}{2}x)^3 - (\frac{1}{3}y)^3 = \frac{1}{8}x^3 - \frac{1}{27}y^3 $.
Ответ: $\frac{1}{8}x^3 - \frac{1}{27}y^3$

е) Переставим слагаемые во второй скобке для соответствия стандартному виду формулы: $ (0,1a - 0,2b)(0,01a^2 + 0,02ab + 0,04b^2) $. Это формула разности кубов $ (c - d)(c^2 + cd + d^2) = c^3 - d^3 $. В нашем выражении $c = 0,1a$ и $d = 0,2b$.
Проверим вторую скобку:
$c^2 = (0,1a)^2 = 0,01a^2$.
$cd = (0,1a)(0,2b) = 0,02ab$.
$d^2 = (0,2b)^2 = 0,04b^2$.
Вторая скобка полностью соответствует формуле.
Таким образом, $ (0,1a - 0,2b)(0,04b^2 + 0,02ab + 0,01a^2) = (0,1a)^3 - (0,2b)^3 = 0,001a^3 - 0,008b^3 $.
Ответ: $0,001a^3 - 0,008b^3$

408. Упростите выражение:

а) $(3p - 10q)(100q^2 + 30pq + 9p^2);$

б) $(7m + 2n)(4n^2 - 14mn + 49m^2);$

в) $(ab - 3)(a^2b^2 + 3ab + 9);$

г) $(km - n^2)(k^2m^2 + kmn^2 + n^4);$

д) $\left(4y^2 - xy + \frac{1}{4}x^2\right)\left(\frac{1}{2}x + 2y\right);$

е) $(1,21q^2 + 0,22pq + 0,04p^2)(0,2p - 1,1q);$

ж) $\left(\frac{1}{9}m^4 + m^2nk + 9n^2k^2\right)\left(\frac{1}{3}m^2 - 3nk\right);$

з) $\left(1\frac{1}{2}a^3 - 0,5b^2\right)\left(2\frac{1}{4}a^6 + \frac{3}{4}a^3b^2 + 0,25b^4\right).$

а) $(3p - 10q)(100q^2 + 30pq + 9p^2)$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Сначала приведем второй множитель к стандартному виду, поменяв слагаемые местами: $(3p - 10q)(9p^2 + 30pq + 100q^2)$.

В данном выражении $a = 3p$ и $b = 10q$. Проверим, соответствует ли второй множитель части формулы $(a^2 + ab + b^2)$:

$a^2 = (3p)^2 = 9p^2$

$b^2 = (10q)^2 = 100q^2$

$ab = (3p)(10q) = 30pq$

Все члены соответствуют формуле. Следовательно, выражение равно $a^3 - b^3$.

$(3p)^3 - (10q)^3 = 27p^3 - 1000q^3$.

Ответ: $27p^3 - 1000q^3$.

б) $(7m + 2n)(4n^2 - 14mn + 49m^2)$

Для упрощения применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Приведем второй множитель к стандартному виду, поменяв слагаемые местами: $(7m + 2n)(49m^2 - 14mn + 4n^2)$.

В данном выражении $a = 7m$ и $b = 2n$. Проверим, соответствует ли второй множитель части формулы $(a^2 - ab + b^2)$:

$a^2 = (7m)^2 = 49m^2$

$b^2 = (2n)^2 = 4n^2$

$ab = (7m)(2n) = 14mn$

Все члены соответствуют формуле. Следовательно, выражение равно $a^3 + b^3$.

$(7m)^3 + (2n)^3 = 343m^3 + 8n^3$.

Ответ: $343m^3 + 8n^3$.

в) $(ab - 3)(a^2b^2 + 3ab + 9)$

Используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В данном случае $x = ab$ и $y = 3$. Проверим второй множитель:

$x^2 = (ab)^2 = a^2b^2$

$y^2 = 3^2 = 9$

$xy = (ab)(3) = 3ab$

Выражение полностью соответствует формуле разности кубов. Таким образом, оно равно $x^3 - y^3$.

$(ab)^3 - 3^3 = a^3b^3 - 27$.

Ответ: $a^3b^3 - 27$.

г) $(km - n^2)(k^2m^2 + kmn^2 + n^4)$

Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Здесь $a = km$ и $b = n^2$. Проверим соответствие второго множителя:

$a^2 = (km)^2 = k^2m^2$

$b^2 = (n^2)^2 = n^4$

$ab = (km)(n^2) = kmn^2$

Выражение является разностью кубов $a^3 - b^3$.

$(km)^3 - (n^2)^3 = k^3m^3 - n^6$.

Ответ: $k^3m^3 - n^6$.

д) $(4y^2 - xy + \frac{1}{4}x^2)(\frac{1}{2}x + 2y)$

Переставим множители и члены в первом множителе для удобства: $(\frac{1}{2}x + 2y)(\frac{1}{4}x^2 - xy + 4y^2)$.

Это выражение соответствует формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Здесь $a = \frac{1}{2}x$ и $b = 2y$. Проверим соответствие второго множителя:

$a^2 = (\frac{1}{2}x)^2 = \frac{1}{4}x^2$

$b^2 = (2y)^2 = 4y^2$

$ab = (\frac{1}{2}x)(2y) = xy$

Выражение является суммой кубов $a^3 + b^3$.

$(\frac{1}{2}x)^3 + (2y)^3 = \frac{1}{8}x^3 + 8y^3$.

Ответ: $\frac{1}{8}x^3 + 8y^3$.

е) $(1,21q^2 + 0,22pq + 0,04p^2)(0,2p - 1,1q)$

Переставим множители и члены в первом множителе: $(0,2p - 1,1q)(0,04p^2 + 0,22pq + 1,21q^2)$.

Это выражение соответствует формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Здесь $a = 0,2p$ и $b = 1,1q$. Проверим соответствие второго множителя:

$a^2 = (0,2p)^2 = 0,04p^2$

$b^2 = (1,1q)^2 = 1,21q^2$

$ab = (0,2p)(1,1q) = 0,22pq$

Выражение является разностью кубов $a^3 - b^3$.

$(0,2p)^3 - (1,1q)^3 = 0,008p^3 - 1,331q^3$.

Ответ: $0,008p^3 - 1,331q^3$.

ж) $(\frac{1}{9}m^4 + m^2nk + 9n^2k^2)(\frac{1}{3}m^2 - 3nk)$

Переставим множители: $(\frac{1}{3}m^2 - 3nk)(\frac{1}{9}m^4 + m^2nk + 9n^2k^2)$.

Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Здесь $a = \frac{1}{3}m^2$ и $b = 3nk$. Проверим соответствие второго множителя:

$a^2 = (\frac{1}{3}m^2)^2 = \frac{1}{9}m^4$

$b^2 = (3nk)^2 = 9n^2k^2$

$ab = (\frac{1}{3}m^2)(3nk) = m^2nk$

Выражение является разностью кубов $a^3 - b^3$.

$(\frac{1}{3}m^2)^3 - (3nk)^3 = \frac{1}{27}m^6 - 27n^3k^3$.

Ответ: $\frac{1}{27}m^6 - 27n^3k^3$.

з) $(1\frac{1}{2}a^3 - 0,5b^2)(2\frac{1}{4}a^6 + \frac{3}{4}a^3b^2 + 0,25b^4)$

Сначала преобразуем смешанные числа и десятичные дроби в обыкновенные:

$1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$; $0,5 = \frac{1}{2}$; $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$; $0,25 = \frac{1}{4}$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(\frac{3}{2}a^3 - \frac{1}{2}b^2)(\frac{9}{4}a^6 + \frac{3}{4}a^3b^2 + \frac{1}{4}b^4)$

Это выражение соответствует формуле разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Здесь $x = \frac{3}{2}a^3$ и $y = \frac{1}{2}b^2$. Проверим соответствие второго множителя:

$x^2 = (\frac{3}{2}a^3)^2 = \frac{9}{4}a^6$

$y^2 = (\frac{1}{2}b^2)^2 = \frac{1}{4}b^4$

$xy = (\frac{3}{2}a^3)(\frac{1}{2}b^2) = \frac{3}{4}a^3b^2$

Выражение является разностью кубов $x^3 - y^3$.

$(\frac{3}{2}a^3)^3 - (\frac{1}{2}b^2)^3 = \frac{27}{8}a^9 - \frac{1}{8}b^6$.

Ответ: $\frac{27}{8}a^9 - \frac{1}{8}b^6$.

409. Разложите двучлен на множители:

а) $m^3 - 1;$

б) $p^3 - 27q^3;$

в) $125x^3 - 8y^3;$

г) $64a^3 + 1000b^3;$

д) $x^6 - y^6;$

е) $m^{12} - 64;$

ж) $x^9 - x^6;$

з) $c^6d^3 - k^3.$

а) Для разложения двучлена $m^3 - 1$ на множители воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В данном случае $a = m$ и $b = 1$.
Подставляем значения в формулу:
$m^3 - 1 = m^3 - 1^3 = (m - 1)(m^2 + m \cdot 1 + 1^2) = (m - 1)(m^2 + m + 1)$.
Ответ: $(m - 1)(m^2 + m + 1)$

б) Представим двучлен в виде разности кубов: $p^3 - 27q^3 = p^3 - (3q)^3$. Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = p$ и $b = 3q$.
$p^3 - (3q)^3 = (p - 3q)(p^2 + p(3q) + (3q)^2) = (p - 3q)(p^2 + 3pq + 9q^2)$.
Ответ: $(p - 3q)(p^2 + 3pq + 9q^2)$

в) Представим двучлен в виде разности кубов: $125x^3 - 8y^3 = (5x)^3 - (2y)^3$. Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 5x$ и $b = 2y$.
$(5x)^3 - (2y)^3 = (5x - 2y)((5x)^2 + (5x)(2y) + (2y)^2) = (5x - 2y)(25x^2 + 10xy + 4y^2)$.
Ответ: $(5x - 2y)(25x^2 + 10xy + 4y^2)$

г) Сначала вынесем общий множитель 8 за скобки: $64a^3 + 1000b^3 = 8(8a^3 + 125b^3)$.
Теперь разложим выражение в скобках по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Представим $8a^3 + 125b^3$ как $(2a)^3 + (5b)^3$. Здесь $a = 2a$, $b = 5b$.
$8((2a)^3 + (5b)^3) = 8(2a + 5b)((2a)^2 - (2a)(5b) + (5b)^2) = 8(2a + 5b)(4a^2 - 10ab + 25b^2)$.
Ответ: $8(2a + 5b)(4a^2 - 10ab + 25b^2)$

д) Данный двучлен можно разложить, представив его как разность квадратов: $x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^3$, $b = y^3$:
$(x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$.
Теперь применим формулы разности кубов и суммы кубов к каждому множителю:
$(x - y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

е) Представим выражение как разность квадратов: $m^{12} - 64 = (m^6)^2 - 8^2$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = m^6$ и $b = 8$:
$(m^6)^2 - 8^2 = (m^6 - 8)(m^6 + 8)$.
Каждый из полученных множителей представляет собой разность и сумму кубов соответственно: $m^6 - 8 = (m^2)^3 - 2^3$ и $m^6 + 8 = (m^2)^3 + 2^3$.
Разложим их по соответствующим формулам:
$m^6 - 8 = (m^2 - 2)((m^2)^2 + m^2 \cdot 2 + 2^2) = (m^2 - 2)(m^4 + 2m^2 + 4)$.
$m^6 + 8 = (m^2 + 2)((m^2)^2 - m^2 \cdot 2 + 2^2) = (m^2 + 2)(m^4 - 2m^2 + 4)$.
Итоговое разложение:
Ответ: $(m^2 - 2)(m^2 + 2)(m^4 + 2m^2 + 4)(m^4 - 2m^2 + 4)$

ж) Сначала вынесем за скобки общий множитель $x^6$:
$x^9 - x^6 = x^6(x^3 - 1)$.
Выражение в скобках $x^3-1$ является разностью кубов. Разложим его по формуле $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = x$ и $b = 1$.
$x^6(x^3 - 1^3) = x^6(x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = x^6(x - 1)(x^2 + x + 1)$.
Ответ: $x^6(x - 1)(x^2 + x + 1)$

з) Представим первый член в виде куба: $c^6d^3 = (c^2d)^3$. Теперь выражение является разностью кубов: $(c^2d)^3 - k^3$.
Применим формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = c^2d$ и $b = k$.
$(c^2d - k)((c^2d)^2 + (c^2d)k + k^2) = (c^2d - k)(c^4d^2 + c^2dk + k^2)$.
Ответ: $(c^2d - k)(c^4d^2 + c^2dk + k^2)$

410. Подберите одночлены A, B и С так, чтобы выполнялось равенство:

a) $x^3 + A = (x + B)(x^2 - 4x + 16);$

б) $A - 8c^6 = (3a - B)(C + 6ac^2 + 4c^4);$

в) $B - 125m^9 = (A - 5m^3)(a^2 + 5am^3 + 25m^6);$

г) $64m^9 + A = (4m^3 + C)(16m^6 - B + 4a^8).$

а) $x^3 + A = (x + B)(x^2 - 4x + 16)$

Правая часть равенства похожа на формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Сравним выражение $(x + B)(x^2 - 4x + 16)$ с формулой $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Пусть $a = x$. Тогда второй множитель в формуле примет вид $(x^2 - xb + b^2)$. Сравнивая его с данным выражением $(x^2 - 4x + 16)$, получаем:

$xb = 4x \implies b = 4$

$b^2 = 16 \implies 4^2 = 16$. Совпадает.

Значит, $b=4$.

Теперь рассмотрим первый множитель $(x+B)$. По формуле он должен быть равен $(a+b)$, то есть $(x+4)$. Отсюда следует, что $B=4$.

Левая часть равенства по формуле равна $a^3+b^3$. Подставив наши значения $a=x$ и $b=4$, получим $x^3+4^3 = x^3+64$.

В исходном уравнении левая часть равна $x^3+A$. Следовательно, $A=64$.

Ответ: $A=64$, $B=4$.

б) $A - 8c^6 = (3a - B)(C + 6ac^2 + 4c^4)$

Данное равенство похоже на формулу разности кубов: $u^3 - v^3 = (u - v)(u^2 + uv + v^2)$.

Преобразуем левую часть: $A - 8c^6 = A - (2c^2)^3$. Это позволяет предположить, что $v = 2c^2$.

Первый множитель в правой части — $(3a - B)$. Сравнивая его с $(u-v)$, можно предположить, что $u=3a$ и $B=v=2c^2$.

Проверим второй множитель. По формуле он должен быть равен $(u^2 + uv + v^2)$. Подставим $u=3a$ и $v=2c^2$:

$u^2 = (3a)^2 = 9a^2$

$uv = (3a)(2c^2) = 6ac^2$

$v^2 = (2c^2)^2 = 4c^4$

Таким образом, второй множитель должен быть $(9a^2 + 6ac^2 + 4c^4)$. В условии дан множитель $(C + 6ac^2 + 4c^4)$. Сравнивая их, находим, что $C = 9a^2$.

Теперь найдем $A$. Левая часть по формуле равна $u^3-v^3 = (3a)^3 - (2c^2)^3 = 27a^3 - 8c^6$. В исходном уравнении левая часть равна $A - 8c^6$. Отсюда $A=27a^3$.

Ответ: $A=27a^3$, $B=2c^2$, $C=9a^2$.

в) $B - 125m^9 = (A - 5m^3)(a^2 + 5am^3 + 25m^6)$

Данное равенство также похоже на формулу разности кубов: $u^3 - v^3 = (u - v)(u^2 + uv + v^2)$.

Рассмотрим второй множитель в правой части: $(a^2 + 5am^3 + 25m^6)$. Его можно представить в виде $(a)^2 + (a)(5m^3) + (5m^3)^2$. Это соответствует части формулы $(u^2+uv+v^2)$ при $u=a$ и $v=5m^3$.

Первый множитель в правой части — $(A - 5m^3)$. По формуле он должен быть равен $(u-v)$, то есть $(a-5m^3)$. Сравнивая их, получаем $A=a$.

Левая часть равенства по формуле равна $u^3-v^3 = a^3 - (5m^3)^3 = a^3 - 125m^9$.

В исходном уравнении левая часть равна $B - 125m^9$. Следовательно, $B=a^3$.

Ответ: $A=a$, $B=a^3$.

г) $64m^9 + A = (4m^3 + C)(16m^6 - B + 4a^8)$

Это равенство похоже на формулу суммы кубов: $u^3 + v^3 = (u + v)(u^2 - uv + v^2)$.

Преобразуем левую часть: $64m^9 + A = (4m^3)^3 + A$. Это позволяет предположить, что $u=4m^3$.

Первый множитель в правой части — $(4m^3 + C)$. Сравнивая его с $(u+v)$, получаем, что $v=C$.

Второй множитель по формуле должен быть равен $(u^2 - uv + v^2)$. Подставим $u=4m^3$ и $v=C$:

$( (4m^3)^2 - (4m^3)C + C^2 ) = (16m^6 - 4m^3C + C^2)$.

Сравним это выражение с данным в условии вторым множителем $(16m^6 - B + 4a^8)$.

Приравнивая соответствующие одночлены, получаем систему:

$C^2 = 4a^8 \implies C = \sqrt{4a^8} = 2a^4$.

$B = 4m^3C$. Подставив найденное значение $C$, получаем $B = 4m^3(2a^4) = 8m^3a^4$.

Теперь найдем $A$. Левая часть по формуле равна $u^3+v^3 = (4m^3)^3 + (2a^4)^3 = 64m^9 + 8a^{12}$.

В исходном уравнении левая часть равна $64m^9 + A$. Следовательно, $A = 8a^{12}$.

Ответ: $A=8a^{12}$, $B=8m^3a^4$, $C=2a^4$.

411. Упростите выражение:

а) $(x - 1)(x^2 + x + 1) - (1 + x)(1 - x + x^2)$;

б) $(a^2 - 3)(a^4 + 3a^2 + 9) + a^4(1 - a)(1 + a)$;

в) $2p^2(2 - p)(p^2 + 2p + 4) - 4(p - 5)(5 + p)$;

г) $n^5(2 + n^2)(n^2 - 2) - (m - n^3)(m^2 + mn^3 + n^6)$.

а) $(x - 1)(x^2 + x + 1) - (1 + x)(1 - x + x^2)$
Для упрощения выражения используем формулы сокращенного умножения: разность кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и сумма кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Первое произведение $(x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2)$ является разностью кубов, где $a=x$ и $b=1$. Таким образом, оно равно $x^3 - 1^3 = x^3 - 1$.
Второе произведение $(1 + x)(1^2 - 1 \cdot x + x^2)$ является суммой кубов, где $a=1$ и $b=x$. Таким образом, оно равно $1^3 + x^3 = 1 + x^3$.
Теперь выполним вычитание: $(x^3 - 1) - (1 + x^3) = x^3 - 1 - 1 - x^3 = -2$.
Ответ: $-2$.

б) $(a^2 - 3)(a^4 + 3a^2 + 9) + a^4(1 - a)(1 + a)$
Первое слагаемое $(a^2 - 3)((a^2)^2 + 3a^2 + 3^2)$ является формулой разности кубов, где $a=a^2$ и $b=3$. Оно равно $(a^2)^3 - 3^3 = a^6 - 27$.
Во втором слагаемом используем формулу разности квадратов $(1 - a)(1 + a) = 1^2 - a^2 = 1 - a^2$.
Тогда второе слагаемое равно $a^4(1 - a^2) = a^4 - a^6$.
Сложим полученные выражения: $(a^6 - 27) + (a^4 - a^6) = a^6 - 27 + a^4 - a^6 = a^4 - 27$.
Ответ: $a^4 - 27$.

в) $2p^2(2 - p)(p^2 + 2p + 4) - 4(p - 5)(5 + p)$
Рассмотрим первое слагаемое. Выражение $(2 - p)(p^2 + 2p + 4)$ можно записать как $(2 - p)(4 + 2p + p^2)$, что является формулой разности кубов $a^3-b^3$. Здесь $a=2, b=p$. Оно равно $2^3 - p^3 = 8 - p^3$.
Умножим на $2p^2$: $2p^2(8 - p^3) = 16p^2 - 2p^5$.
Рассмотрим второе слагаемое. Выражение $(p - 5)(5 + p)$ является формулой разности квадратов $(p-5)(p+5) = p^2-5^2 = p^2-25$.
Умножим на $-4$: $-4(p^2 - 25) = -4p^2 + 100$.
Сложим полученные выражения: $(16p^2 - 2p^5) + (-4p^2 + 100) = 16p^2 - 2p^5 - 4p^2 + 100 = -2p^5 + 12p^2 + 100$.
Ответ: $-2p^5 + 12p^2 + 100$.

г) $n^5(2 + n^2)(n^2 - 2) - (m - n^3)(m^2 + mn^3 + n^6)$
В первом члене используем формулу разности квадратов для $(2 + n^2)(n^2 - 2) = (n^2)^2 - 2^2 = n^4 - 4$.
Умножим на $n^5$: $n^5(n^4 - 4) = n^9 - 4n^5$.
Во втором члене видим формулу разности кубов $(m - n^3)(m^2 + m(n^3) + (n^3)^2)$. Она равна $m^3 - (n^3)^3 = m^3 - n^9$.
Теперь выполним вычитание: $(n^9 - 4n^5) - (m^3 - n^9) = n^9 - 4n^5 - m^3 + n^9 = 2n^9 - 4n^5 - m^3$.
Ответ: $2n^9 - 4n^5 - m^3$.