Страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

364. Из любого ли многочлена второй степени с коэффициентом 1 при $x^2$ можно выделить полный квадрат?

Да, из любого многочлена второй степени с коэффициентом 1 при $x^2$ можно выделить полный квадрат. Это одна из фундаментальных алгебраических операций. Докажем это утверждение в общем виде.

Любой многочлен второй степени с коэффициентом 1 при $x^2$ можно представить в виде:

$P(x) = x^2 + bx + c$

где $b$ и $c$ – произвольные числовые коэффициенты.

Цель состоит в том, чтобы преобразовать это выражение к форме $(x+k)^2 + m$, где $k$ и $m$ – некоторые числа, которые нам нужно найти. Эта форма называется каноническим видом квадратного трехчлена.

Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+d)^2 = a^2 + 2ad + d^2$. В нашем выражении $x^2 + bx + c$ мы видим первые два слагаемых, похожие на формулу квадрата суммы, где $a=x$. Сравним член $bx$ с удвоенным произведением $2ad$:

$2xd = bx$

Отсюда, разделив обе части на $2x$ (при $x \neq 0$), находим $d$:

$d = \frac{b}{2}$

Теперь мы знаем, что для получения полного квадрата $(x + \frac{b}{2})^2$ нам необходимо выражение вида $x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2$. В нашем исходном многочлене есть $x^2 + bx$, но нет слагаемого $(\frac{b}{2})^2$. Чтобы не изменить значение многочлена, мы можем одновременно добавить и вычесть это слагаемое:

$x^2 + bx + c = \left(x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2\right) - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + c$

Выражение в скобках теперь является полным квадратом, который мы можем свернуть по формуле:

$\left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + c$

Осталось упростить константную часть выражения:

$\left(x + \frac{b}{2}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4}\right)$

Таким образом, мы преобразовали исходный многочлен к требуемому виду, где $k = \frac{b}{2}$ и $m = c - \frac{b^2}{4}$. Поскольку для любых коэффициентов $b$ и $c$ мы можем выполнить указанные арифметические операции (деление на 2, возведение в квадрат, вычитание), то и найти соответствующие $k$ и $m$ можно всегда. Это доказывает, что выделение полного квадрата возможно для любого многочлена второй степени с коэффициентом 1 при $x^2$.

Пример:

Рассмотрим многочлен $x^2 + 10x - 3$.

Здесь $b=10$, $c=-3$.

Находим $d = \frac{b}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Добавляем и вычитаем $d^2 = 5^2 = 25$:

$x^2 + 10x - 3 = (x^2 + 10x + 25) - 25 - 3 = (x+5)^2 - 28$.

Полный квадрат успешно выделен.

Ответ: Да, из любого многочлена второй степени с коэффициентом 1 при $x^2$ можно выделить полный квадрат.

365. Представьте выражение в виде степени с показателем 2:

а) $9;$

б) $16x^2;$

в) $4a^2b^2;$

г) $25p^2;$

д) $m^8n^6k^{10};$

е) $49a^4b^6c^{12}.$

а) Чтобы представить число 9 в виде степени с показателем 2, необходимо найти число, которое при возведении в квадрат равно 9. Таким числом является 3.
$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$.
Ответ: $3^2$

б) Чтобы представить выражение $16x^2$ в виде степени с показателем 2, нужно представить каждый множитель в виде квадрата. Число 16 — это квадрат числа 4 ($16 = 4^2$), а $x^2$ — это квадрат $x$. Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:
$16x^2 = 4^2 \cdot x^2 = (4x)^2$.
Ответ: $(4x)^2$

в) Чтобы представить выражение $4a^2b^2$ в виде степени с показателем 2, представим каждый множитель в виде квадрата.
$4 = 2^2$, $a^2$ — квадрат $a$, $b^2$ — квадрат $b$.
Таким образом, $4a^2b^2 = 2^2 \cdot a^2 \cdot b^2 = (2ab)^2$.
Ответ: $(2ab)^2$

г) Чтобы представить выражение $25p^2$ в виде степени с показателем 2, представим каждый множитель в виде квадрата.
$25 = 5^2$, а $p^2$ — это квадрат $p$.
Следовательно, $25p^2 = 5^2 \cdot p^2 = (5p)^2$.
Ответ: $(5p)^2$

д) Чтобы представить выражение $m^8n^6k^{10}$ в виде степени с показателем 2, воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$. Для этого нужно каждый показатель степени в исходном выражении представить в виде произведения, где один из множителей равен 2.
$m^8 = m^{4 \cdot 2} = (m^4)^2$
$n^6 = n^{3 \cdot 2} = (n^3)^2$
$k^{10} = k^{5 \cdot 2} = (k^5)^2$
Объединяя множители, получаем: $m^8n^6k^{10} = (m^4)^2(n^3)^2(k^5)^2 = (m^4n^3k^5)^2$.
Ответ: $(m^4n^3k^5)^2$

е) Чтобы представить выражение $49a^4b^6c^{12}$ в виде степени с показателем 2, представим в виде квадрата числовой коэффициент и каждую переменную в степени.
$49 = 7^2$
$a^4 = a^{2 \cdot 2} = (a^2)^2$
$b^6 = b^{3 \cdot 2} = (b^3)^2$
$c^{12} = c^{6 \cdot 2} = (c^6)^2$
Объединяя все части, получаем: $49a^4b^6c^{12} = 7^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 \cdot (c^6)^2 = (7a^2b^3c^6)^2$.
Ответ: $(7a^2b^3c^6)^2$

366. Представьте выражение в виде удвоенного произведения двух выражений:

а) $4xy$;

б) $6ab$;

в) $10m^2n$;

г) $8pq^4$;

д) $x$;

е) $-3ab$;

ж) $-0,3pq$;

з) $-2,7c$.

а) Чтобы представить выражение $4xy$ в виде удвоенного произведения двух выражений, необходимо вынести множитель 2. Это дает $4xy = 2 \cdot (2xy)$. Далее, выражение в скобках, $2xy$, можно представить как произведение двух других выражений, например, $2x$ и $y$. В результате получаем $2 \cdot (2x) \cdot y$.
Ответ: $2 \cdot (2x) \cdot y$

б) Для выражения $6ab$ выносим множитель 2: $6ab = 2 \cdot (3ab)$. Выражение $3ab$ представляем как произведение двух множителей, например, $3a$ и $b$. Таким образом, получаем $2 \cdot (3a) \cdot b$.
Ответ: $2 \cdot (3a) \cdot b$

в) Для выражения $10m^2n$ выносим множитель 2: $10m^2n = 2 \cdot (5m^2n)$. Выражение $5m^2n$ представляем как произведение, например, $5m^2$ и $n$. В итоге имеем $2 \cdot (5m^2) \cdot n$.
Ответ: $2 \cdot (5m^2) \cdot n$

г) Для выражения $8pq^4$ выносим множитель 2: $8pq^4 = 2 \cdot (4pq^4)$. Выражение $4pq^4$ можно представить в виде произведения $4p$ и $q^4$. В результате получаем $2 \cdot (4p) \cdot q^4$.
Ответ: $2 \cdot (4p) \cdot q^4$

д) Чтобы представить выражение $x$ в виде удвоенного произведения, необходимо одновременно умножить и разделить его на 2: $x = 2 \cdot \frac{x}{2}$. Затем дробь $\frac{x}{2}$ можно представить как произведение двух выражений, например, $x$ и $\frac{1}{2}$. Таким образом, $x = 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2}$.
Ответ: $2 \cdot x \cdot \frac{1}{2}$

е) Для выражения $-3ab$ выносим множитель 2, разделив на него исходное выражение: $-3ab = 2 \cdot (\frac{-3ab}{2}) = 2 \cdot (-1,5ab)$. Выражение $-1,5ab$ представляем как произведение, например, $-1,5a$ и $b$. В результате получаем $2 \cdot (-1,5a) \cdot b$.
Ответ: $2 \cdot (-1,5a) \cdot b$

ж) Для выражения $-0,3pq$ выносим множитель 2: $-0,3pq = 2 \cdot (\frac{-0,3pq}{2}) = 2 \cdot (-0,15pq)$. Выражение $-0,15pq$ представляем как произведение, например, $-0,15p$ и $q$. В результате получаем $2 \cdot (-0,15p) \cdot q$.
Ответ: $2 \cdot (-0,15p) \cdot q$

з) Для выражения $-2,7c$ выносим множитель 2: $-2,7c = 2 \cdot (\frac{-2,7c}{2}) = 2 \cdot (-1,35c)$. Выражение $-1,35c$ представляем как произведение, например, $-1,35$ и $c$. В результате получаем $2 \cdot (-1,35) \cdot c$.
Ответ: $2 \cdot (-1,35) \cdot c$

367. Прибавьте к двучлену такой одночлен, чтобы полученный трёхчлен являлся полным квадратом:

а) $x^2 + 2x;$

б) $a^2 + 4ab;$

в) $m^2 + 1;$

г) $9 + 6p;$

д) $10y + 25;$

е) $16x^2 + 8xy.$

Для решения этой задачи мы будем использовать формулы квадрата суммы и квадрата разности:

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Наша цель — для каждого двучлена найти такой одночлен, который дополнит его до одного из этих трёхчленов (полного квадрата).

а) В выражении $x^2 + 2x$ мы имеем два члена. Давайте сопоставим их с формулой полного квадрата $a^2 + 2ab + b^2$.

Первый член $x^2$ можно принять за $a^2$, тогда $a=x$.

Второй член $2x$ можно принять за удвоенное произведение $2ab$. Подставив $a=x$, получаем: $2 \cdot x \cdot b = 2x$.

Из этого уравнения находим $b$: $b = \frac{2x}{2x} = 1$.

Третий член, которого не хватает для полного квадрата, это $b^2$. Вычисляем его: $b^2 = 1^2 = 1$.

Прибавив $1$ к исходному двучлену, мы получим трёхчлен $x^2 + 2x + 1$, который является полным квадратом: $(x+1)^2$.

Ответ: $1$.

б) Рассмотрим выражение $a^2 + 4ab$.

Первый член $a^2$ соответствует первому члену в формуле полного квадрата. Обозначим его как $A^2 = a^2$, откуда $A=a$.

Второй член $4ab$ примем за удвоенное произведение $2AB$. Подставим $A=a$: $2 \cdot a \cdot B = 4ab$.

Найдём $B$: $B = \frac{4ab}{2a} = 2b$.

Недостающий член — это $B^2$. Вычисляем его: $B^2 = (2b)^2 = 4b^2$.

Прибавив $4b^2$, получим $a^2 + 4ab + 4b^2$, что является полным квадратом $(a+2b)^2$.

Ответ: $4b^2$.

в) В выражении $m^2 + 1$ мы имеем два члена, которые являются квадратами.

Примем $a^2 = m^2$ (тогда $a=m$) и $b^2 = 1$ (тогда $b=1$).

В этом случае для полного квадрата не хватает среднего члена, который равен $\pm 2ab$.

Вычислим $2ab$: $2 \cdot m \cdot 1 = 2m$.

Таким образом, мы можем прибавить как $2m$, так и $-2m$.

1. Если прибавить $2m$, получим $m^2 + 2m + 1 = (m+1)^2$.

2. Если прибавить $-2m$, получим $m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2$.

Оба одночлена подходят.

Ответ: $2m$ или $-2m$.

г) Рассмотрим выражение $9 + 6p$.

Здесь член $9$ является полным квадратом: $9 = 3^2$. Примем его за $a^2$, тогда $a=3$.

Член $6p$ примем за удвоенное произведение $2ab$: $2 \cdot 3 \cdot b = 6p$.

Найдём $b$: $6b = 6p$, откуда $b=p$.

Недостающий член — это $b^2$. Вычисляем его: $b^2 = p^2$.

Прибавив $p^2$, получим $p^2 + 6p + 9$, что является полным квадратом $(p+3)^2$.

Ответ: $p^2$.

д) Рассмотрим выражение $10y + 25$.

Член $25$ является полным квадратом: $25 = 5^2$. Примем его за $b^2$, тогда $b=5$.

Член $10y$ примем за удвоенное произведение $2ab$: $2 \cdot a \cdot 5 = 10y$.

Найдём $a$: $10a = 10y$, откуда $a=y$.

Недостающий член — это $a^2$. Вычисляем его: $a^2 = y^2$.

Прибавив $y^2$, получим $y^2 + 10y + 25$, что является полным квадратом $(y+5)^2$.

Ответ: $y^2$.

е) Рассмотрим выражение $16x^2 + 8xy$.

Член $16x^2$ является полным квадратом: $16x^2 = (4x)^2$. Примем его за $a^2$, тогда $a=4x$.

Член $8xy$ примем за удвоенное произведение $2ab$: $2 \cdot (4x) \cdot b = 8xy$.

Найдём $b$: $8xb = 8xy$, откуда $b=y$.

Недостающий член — это $b^2$. Вычисляем его: $b^2 = y^2$.

Прибавив $y^2$, получим $16x^2 + 8xy + y^2$, что является полным квадратом $(4x+y)^2$.

Ответ: $y^2$.

Выделите полный квадрат из многочлена (368–370):

368. a) $a^2 + 2a + 2;$

б) $x^2 - 2x + 3;$

в) $m^2 - 2m - 1;$

г) $4 + 2q + q^2;$

д) $x^2 + 6x + 1;$

е) $a^2 - 4a + 1;$

ж) $m^2 - 6m + 9;$

з) $16 + 8p + p^2;$

и) $a^2 - 2a;$

к) $x^2 + 6x;$

л) $m + m^2 + 1;$

м) $3 + p^2 - p.$

Для выделения полного квадрата из многочлена используется одна из формул сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

Суть метода заключается в том, чтобы к первым двум членам многочлена (квадрату и удвоенному произведению) добавить и отнять такой член, чтобы получилась одна из этих формул.

а) $a^2 + 2a + 2$

Используем формулу квадрата суммы. Первый член $a^2$. Удвоенное произведение равно $2a = 2 \cdot a \cdot 1$. Значит, в качестве второго члена квадрата нужно взять $1^2=1$.

Представим многочлен в виде:

$a^2 + 2a + 2 = (a^2 + 2a + 1) + 1 = (a+1)^2 + 1$.

Ответ: $(a+1)^2 + 1$

б) $x^2 - 2x + 3$

Используем формулу квадрата разности. Первый член $x^2$. Удвоенное произведение равно $2x = 2 \cdot x \cdot 1$. Значит, в качестве второго члена квадрата нужно взять $1^2=1$.

Представим многочлен в виде:

$x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x-1)^2 + 2$.

Ответ: $(x-1)^2 + 2$

в) $m^2 - 2m - 1$

Используем формулу квадрата разности. Первый член $m^2$. Удвоенное произведение равно $2m = 2 \cdot m \cdot 1$. Значит, для полного квадрата нам нужен член $1^2=1$.

Добавим и вычтем 1:

$m^2 - 2m - 1 = (m^2 - 2m + 1) - 1 - 1 = (m-1)^2 - 2$.

Ответ: $(m-1)^2 - 2$

г) $4 + 2q + q^2$

Перепишем многочлен в стандартном виде: $q^2 + 2q + 4$.

Используем формулу квадрата суммы. Первый член $q^2$. Удвоенное произведение равно $2q = 2 \cdot q \cdot 1$. Значит, второй член квадрата равен $1^2=1$.

$q^2 + 2q + 4 = (q^2 + 2q + 1) + 3 = (q+1)^2 + 3$.

Ответ: $(q+1)^2 + 3$

д) $x^2 + 6x + 1$

Используем формулу квадрата суммы. Первый член $x^2$. Удвоенное произведение равно $6x = 2 \cdot x \cdot 3$. Значит, второй член квадрата равен $3^2=9$.

Добавим и вычтем 9:

$x^2 + 6x + 1 = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 1 = (x+3)^2 - 8$.

Ответ: $(x+3)^2 - 8$

е) $a^2 - 4a + 1$

Используем формулу квадрата разности. Первый член $a^2$. Удвоенное произведение равно $4a = 2 \cdot a \cdot 2$. Значит, второй член квадрата равен $2^2=4$.

Добавим и вычтем 4:

$a^2 - 4a + 1 = (a^2 - 4a + 4) - 4 + 1 = (a-2)^2 - 3$.

Ответ: $(a-2)^2 - 3$

ж) $m^2 - 6m + 9$

Данный многочлен уже является полным квадратом. Проверим по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x=m$, $y=3$. Тогда $2xy = 2 \cdot m \cdot 3 = 6m$.

Следовательно, $m^2 - 6m + 9 = (m-3)^2$.

Ответ: $(m-3)^2$

з) $16 + 8p + p^2$

Перепишем многочлен: $p^2 + 8p + 16$.

Данный многочлен уже является полным квадратом. Проверим по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь $x=p$, $y=4$. Тогда $2xy = 2 \cdot p \cdot 4 = 8p$.

Следовательно, $p^2 + 8p + 16 = (p+4)^2$.

Ответ: $(p+4)^2$

и) $a^2 - 2a$

Используем формулу квадрата разности. Первый член $a^2$. Удвоенное произведение $2a = 2 \cdot a \cdot 1$. Значит, второй член квадрата равен $1^2=1$.

Добавим и вычтем 1:

$a^2 - 2a = (a^2 - 2a + 1) - 1 = (a-1)^2 - 1$.

Ответ: $(a-1)^2 - 1$

к) $x^2 + 6x$

Используем формулу квадрата суммы. Первый член $x^2$. Удвоенное произведение $6x = 2 \cdot x \cdot 3$. Значит, второй член квадрата равен $3^2=9$.

Добавим и вычтем 9:

$x^2 + 6x = (x^2 + 6x + 9) - 9 = (x+3)^2 - 9$.

Ответ: $(x+3)^2 - 9$

л) $m + m^2 + 1$

Перепишем многочлен: $m^2 + m + 1$.

Используем формулу квадрата суммы. Первый член $m^2$. Удвоенное произведение $m = 2 \cdot m \cdot \frac{1}{2}$. Значит, второй член квадрата равен $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Добавим и вычтем $\frac{1}{4}$:

$m^2 + m + 1 = (m^2 + m + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + 1 = (m + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.

Ответ: $(m + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

м) $3 + p^2 - p$

Перепишем многочлен: $p^2 - p + 3$.

Используем формулу квадрата разности. Первый член $p^2$. Удвоенное произведение $p = 2 \cdot p \cdot \frac{1}{2}$. Значит, второй член квадрата равен $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Добавим и вычтем $\frac{1}{4}$:

$p^2 - p + 3 = (p^2 - p + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + 3 = (p - \frac{1}{2})^2 + (\frac{12}{4} - \frac{1}{4}) = (p - \frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}$.

Ответ: $(p - \frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}$

369. а) $-3a + 3 + a^2;$;

б) $a^2 - 1 + 5a;$;

в) $m^2 - 2 + 11m;$;

г) $-q + q^2 - 7;$;

д) $a^2 + \frac{1}{2}a + 4;$;

е) $x^2 - \frac{1}{3}x - 1;$;

ж) $m^2 + 1;$;

з) $4 + p^2;$;

и) $x^2 - 5x.$

а) Чтобы привести многочлен $-3a + 3 + a^2$ к стандартному виду, необходимо расположить его одночлены (члены) в порядке убывания их степеней.
1. Сначала находим член с самой большой степенью переменной $a$. Это $a^2$ (вторая степень).
2. Затем идет член с меньшей степенью. Это $-3a$ (первая степень).
3. Последним записывается свободный член (нулевая степень). Это $3$.
Расположив члены в этом порядке, получаем многочлен стандартного вида.
Ответ: $a^2 - 3a + 3$

б) Стандартный вид многочлена $a^2 - 1 + 5a$ предполагает расположение его членов в порядке убывания степеней переменной $a$.
1. Член с наивысшей степенью: $a^2$.
2. Член со следующей по убыванию степенью: $5a$.
3. Свободный член: $-1$.
Записываем их последовательно.
Ответ: $a^2 + 5a - 1$

в) Чтобы записать многочлен $m^2 - 2 + 11m$ в стандартном виде, нужно упорядочить его члены по убыванию степеней переменной $m$.
1. Член с наибольшей степенью: $m^2$.
2. Член со степенью 1: $11m$.
3. Свободный член (степень 0): $-2$.
Собираем их в указанном порядке.
Ответ: $m^2 + 11m - 2$

г) Приведем многочлен $-q + q^2 - 7$ к стандартному виду, расположив его члены по убыванию степеней переменной $q$.
1. Член с самой высокой степенью: $q^2$.
2. Член со следующей степенью: $-q$.
3. Свободный член: $-7$.
Записываем многочлен в новом порядке.
Ответ: $q^2 - q - 7$

д) Многочлен $a^2 + \frac{1}{2}a + 4$ уже представлен в стандартном виде. Его члены $a^2$, $\frac{1}{2}a$ и $4$ уже расположены в порядке убывания степеней переменной $a$ (степень 2, степень 1, степень 0).
Ответ: $a^2 + \frac{1}{2}a + 4$

е) Многочлен $x^2 - \frac{1}{3}x - 1$ уже записан в стандартном виде. Его члены $x^2$, $-\frac{1}{3}x$ и $-1$ расположены в порядке убывания степеней переменной $x$ (вторая степень, первая степень, нулевая степень).
Ответ: $x^2 - \frac{1}{3}x - 1$

ж) Многочлен $m^2 + 1$ уже находится в стандартном виде. Его члены $m^2$ (вторая степень) и $1$ (нулевая степень) расположены в порядке убывания степеней. В данном многочлене отсутствует член с первой степенью.
Ответ: $m^2 + 1$

з) Чтобы привести многочлен $4 + p^2$ к стандартному виду, расположим его члены по убыванию степеней переменной $p$.
1. Член с наибольшей степенью: $p^2$.
2. Свободный член: $4$.
Записываем их в этом порядке.
Ответ: $p^2 + 4$

и) Многочлен $x^2 - 5x$ уже записан в стандартном виде, так как его члены $x^2$ (вторая степень) и $-5x$ (первая степень) расположены в порядке убывания степеней переменной $x$. Свободный член равен нулю.
Ответ: $x^2 - 5x$