Номер 364, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.3. Выделение полного квадрата. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 364, страница 106.

Условие.

364. Из любого ли многочлена второй степени с коэффициентом 1 при $x^2$ можно выделить полный квадрат?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Да, из любого многочлена второй степени с коэффициентом 1 при $x^2$ можно выделить полный квадрат. Это одна из фундаментальных алгебраических операций. Докажем это утверждение в общем виде.

Любой многочлен второй степени с коэффициентом 1 при $x^2$ можно представить в виде:

$P(x) = x^2 + bx + c$

где $b$ и $c$ – произвольные числовые коэффициенты.

Цель состоит в том, чтобы преобразовать это выражение к форме $(x+k)^2 + m$, где $k$ и $m$ – некоторые числа, которые нам нужно найти. Эта форма называется каноническим видом квадратного трехчлена.

Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+d)^2 = a^2 + 2ad + d^2$. В нашем выражении $x^2 + bx + c$ мы видим первые два слагаемых, похожие на формулу квадрата суммы, где $a=x$. Сравним член $bx$ с удвоенным произведением $2ad$:

$2xd = bx$

Отсюда, разделив обе части на $2x$ (при $x \neq 0$), находим $d$:

$d = \frac{b}{2}$

Теперь мы знаем, что для получения полного квадрата $(x + \frac{b}{2})^2$ нам необходимо выражение вида $x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2$. В нашем исходном многочлене есть $x^2 + bx$, но нет слагаемого $(\frac{b}{2})^2$. Чтобы не изменить значение многочлена, мы можем одновременно добавить и вычесть это слагаемое:

$x^2 + bx + c = \left(x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2\right) - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + c$

Выражение в скобках теперь является полным квадратом, который мы можем свернуть по формуле:

$\left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + c$

Осталось упростить константную часть выражения:

$\left(x + \frac{b}{2}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4}\right)$

Таким образом, мы преобразовали исходный многочлен к требуемому виду, где $k = \frac{b}{2}$ и $m = c - \frac{b^2}{4}$. Поскольку для любых коэффициентов $b$ и $c$ мы можем выполнить указанные арифметические операции (деление на 2, возведение в квадрат, вычитание), то и найти соответствующие $k$ и $m$ можно всегда. Это доказывает, что выделение полного квадрата возможно для любого многочлена второй степени с коэффициентом 1 при $x^2$.

Пример:

Рассмотрим многочлен $x^2 + 10x - 3$.

Здесь $b=10$, $c=-3$.

Находим $d = \frac{b}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Добавляем и вычитаем $d^2 = 5^2 = 25$:

$x^2 + 10x - 3 = (x^2 + 10x + 25) - 25 - 3 = (x+5)^2 - 28$.

Полный квадрат успешно выделен.

Ответ: Да, из любого многочлена второй степени с коэффициентом 1 при $x^2$ можно выделить полный квадрат.