Номер 359, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.2. Квадрат разности. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 359, страница 104.

Условие.

359. Вместо букв C и D подберите одночлены так, чтобы выполнялось равенство:

a) $(a - C)^2 = a^2 - 4a + 4;$

б) $(C - y)^2 = 4x^2 - D + y^2;$

в) $(C - D)^2 = 9m^2 - 12mn + 4n^2;$

г) $(C + 3q)^2 = D - 24pq + 9q^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) В данном равенстве $(a - C)^2 = a^2 - 4a + 4$ левая часть представляет собой квадрат разности. Раскроем скобки по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Получим: $(a - C)^2 = a^2 - 2aC + C^2$.
Теперь приравняем правую часть этого выражения к правой части исходного равенства:
$a^2 - 2aC + C^2 = a^2 - 4a + 4$.
Из этого равенства следует, что соответствующие одночлены должны быть равны:
$2aC = 4a$ и $C^2 = 4$.
Из обоих уравнений находим, что $C = 2$.
Проверка: $(a - 2)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = a^2 - 4a + 4$. Равенство выполняется.
Ответ: $C = 2$.

б) Рассмотрим равенство $(C - y)^2 = 4x^2 - D + y^2$. Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности: $(C - y)^2 = C^2 - 2Cy + y^2$.
Приравняем полученное выражение к правой части исходного равенства:
$C^2 - 2Cy + y^2 = 4x^2 - D + y^2$.
Сравнивая части равенства, видим, что $C^2$ должно быть равно $4x^2$, а $-2Cy$ должно быть равно $-D$.
Из $C^2 = 4x^2$ следует, что $C = 2x$ (или $C=-2x$, но для соответствия формуле квадрата разности обычно берут положительное значение, если нет иных указаний).
Подставим $C = 2x$ во второе соотношение: $-2(2x)y = -D$.
$-4xy = -D$, откуда $D = 4xy$.
Проверка: $(2x - y)^2 = (2x)^2 - 2(2x)y + y^2 = 4x^2 - 4xy + y^2$. Сравнивая с $4x^2 - D + y^2$, получаем $D = 4xy$. Равенство выполняется.
Ответ: $C = 2x$, $D = 4xy$.

в) В равенстве $(C - D)^2 = 9m^2 - 12mn + 4n^2$ правая часть является полным квадратом. Применим формулу $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.
Определим, квадратами каких выражений являются первый и последний члены трехчлена:
$9m^2 = (3m)^2$
$4n^2 = (2n)^2$
Проверим удвоенное произведение: $2 \cdot (3m) \cdot (2n) = 12mn$.
Таким образом, правая часть равна $(3m - 2n)^2$.
Исходное равенство принимает вид: $(C - D)^2 = (3m - 2n)^2$.
Отсюда, сравнивая выражения в скобках, получаем: $C = 3m$ и $D = 2n$.
(Возможен также вариант $C = 2n$ и $D = 3m$, если записать правую часть как $(2n - 3m)^2$, но стандартная запись соответствует первому варианту).
Ответ: $C = 3m$, $D = 2n$.

г) Дано равенство $(C + 3q)^2 = D - 24pq + 9q^2$. Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(C + 3q)^2 = C^2 + 2 \cdot C \cdot 3q + (3q)^2 = C^2 + 6Cq + 9q^2$.
Приравняем полученное выражение к правой части исходного равенства:
$C^2 + 6Cq + 9q^2 = D - 24pq + 9q^2$.
Сократим одинаковые члены $9q^2$ в обеих частях:
$C^2 + 6Cq = D - 24pq$.
Это тождество должно выполняться для любых $p$ и $q$. Сгруппируем члены с переменными. Сравним члены, содержащие $q$:
$6Cq = -24pq$.
Разделив обе части на $6q$ (при $q \neq 0$), находим $C$:
$C = -4p$.
Теперь приравняем оставшиеся члены, которые не содержат $q$:
$C^2 = D$.
Подставим найденное значение $C$ в это равенство, чтобы найти $D$:
$D = (-4p)^2 = 16p^2$.
Проверка: $(-4p + 3q)^2 = (-4p)^2 + 2(-4p)(3q) + (3q)^2 = 16p^2 - 24pq + 9q^2$. Правая часть: $D - 24pq + 9q^2 = 16p^2 - 24pq + 9q^2$. Равенство выполняется.
Ответ: $C = -4p$, $D = 16p^2$.