Номер 355, страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.2. Квадрат разности. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 355, страница 103.

Условие.

355. Доказываем.

Пользуясь рисунком 14, докажите формулу квадрата разности для $a > 0, b > 0, a > b$.

Рис. 14

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для доказательства формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ при условиях $a > 0, b > 0, a > b$ воспользуемся геометрическим методом, основанным на предоставленном рисунке.

На рисунке изображен большой квадрат со стороной $a$. Его общая площадь равна $S_{общ} = a^2$.

Этот квадрат можно представить как сумму площадей четырех меньших фигур, на которые он разделен:

1. Закрашенный квадрат (в левом верхнем углу) со стороной $(a-b)$. Его площадь равна $S_1 = (a-b)^2$.
2. Прямоугольник (в правом верхнем углу) со сторонами $b$ и $(a-b)$. Его площадь равна $S_2 = b(a-b)$.
3. Прямоугольник (в левом нижнем углу) со сторонами $(a-b)$ и $b$. Его площадь равна $S_3 = (a-b)b$.
4. Квадрат (в правом нижнем углу) со стороной $b$. Его площадь равна $S_4 = b^2$.

Площадь большого квадрата равна сумме площадей этих четырех частей:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4$

Подставим выражения для площадей:

$a^2 = (a-b)^2 + b(a-b) + (a-b)b + b^2$

Это равенство можно использовать, чтобы выразить площадь закрашенного квадрата $(a-b)^2$. Для этого перенесем все остальные слагаемые в левую часть:

$(a-b)^2 = a^2 - b(a-b) - (a-b)b - b^2$

Раскроем скобки в правой части:

$(a-b)^2 = a^2 - (ab - b^2) - (ab - b^2) - b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - ab + b^2 - ab + b^2 - b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Таким образом, мы геометрически доказали формулу квадрата разности. Заданные условия $a > 0$, $b > 0$ и $a > b$ обеспечивают корректность геометрической интерпретации, так как все длины сторон и площади являются положительными числами.

Ответ: Формула $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ доказана с помощью разбиения квадрата со стороной $a$ на части и вычисления его площади как суммы площадей этих частей.