Номер 360, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.2. Квадрат разности. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 360, страница 104.

Условие.

360. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

а) $(m + n)^2 + (m - n)^2$;

б) $2(a - 1)^2 + 3(a - 2)^2$;

в) $5(x - y)^2 + (x - 2y)^2$;

г) $4(m - 2n)^2 - 3(3m + n)^2$;

д) $3(2a - b)^2 - 5(a - 2b)^2$;

е) $4(3x + 4y)^2 - 7(2x - 3y)^2$;

ж) $2(p - 3q)^2 - 4(2p - q)^2 - (2q - 3p)(p + q)$;

з) $5(n - 5m)^2 - 6(2n - 3m)^2 - (3m - n)(7m - n)$;

и) $(2p - q)^2 - 2(2p - q)(p - q) + (p - q)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $(m + n)^2 + (m - n)^2$

Для преобразования выражения раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$

$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$

Теперь сложим полученные многочлены:

$(m^2 + 2mn + n^2) + (m^2 - 2mn + n^2) = m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - 2mn + n^2$

Приведем подобные члены:

$(m^2 + m^2) + (2mn - 2mn) + (n^2 + n^2) = 2m^2 + 0 + 2n^2 = 2m^2 + 2n^2$

Ответ: $2m^2 + 2n^2$

б) $2(a - 1)^2 + 3(a - 2)^2$

Сначала раскроем квадраты разности:

$(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1$

$(a - 2)^2 = a^2 - 4a + 4$

Теперь подставим раскрытые скобки в исходное выражение и умножим на коэффициенты:

$2(a^2 - 2a + 1) + 3(a^2 - 4a + 4) = (2a^2 - 4a + 2) + (3a^2 - 12a + 12)$

Сложим многочлены и приведем подобные члены:

$2a^2 - 4a + 2 + 3a^2 - 12a + 12 = (2a^2 + 3a^2) + (-4a - 12a) + (2 + 12) = 5a^2 - 16a + 14$

Ответ: $5a^2 - 16a + 14$

в) $5(x - y)^2 + (x - 2y)^2$

Раскроем квадраты разности:

$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

$(x - 2y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2y + (2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$

Подставим в исходное выражение:

$5(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 4xy + 4y^2) = 5x^2 - 10xy + 5y^2 + x^2 - 4xy + 4y^2$

Приведем подобные члены:

$(5x^2 + x^2) + (-10xy - 4xy) + (5y^2 + 4y^2) = 6x^2 - 14xy + 9y^2$

Ответ: $6x^2 - 14xy + 9y^2$

г) $4(m - 2n)^2 - 3(3m + n)^2$

Раскроем скобки с квадратами:

$(m - 2n)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 2n + (2n)^2 = m^2 - 4mn + 4n^2$

$(3m + n)^2 = (3m)^2 + 2 \cdot 3m \cdot n + n^2 = 9m^2 + 6mn + n^2$

Подставим и умножим на коэффициенты:

$4(m^2 - 4mn + 4n^2) - 3(9m^2 + 6mn + n^2) = (4m^2 - 16mn + 16n^2) - (27m^2 + 18mn + 3n^2)$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки, и приведем подобные члены:

$4m^2 - 16mn + 16n^2 - 27m^2 - 18mn - 3n^2 = (4m^2 - 27m^2) + (-16mn - 18mn) + (16n^2 - 3n^2) = -23m^2 - 34mn + 13n^2$

Ответ: $-23m^2 - 34mn + 13n^2$

д) $3(2a - b)^2 - 5(a - 2b)^2$

Раскроем квадраты разности:

$(2a - b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$

$(a - 2b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2b + (2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2$

Подставим в выражение и умножим на коэффициенты:

$3(4a^2 - 4ab + b^2) - 5(a^2 - 4ab + 4b^2) = (12a^2 - 12ab + 3b^2) - (5a^2 - 20ab + 20b^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$12a^2 - 12ab + 3b^2 - 5a^2 + 20ab - 20b^2 = (12a^2 - 5a^2) + (-12ab + 20ab) + (3b^2 - 20b^2) = 7a^2 + 8ab - 17b^2$

Ответ: $7a^2 + 8ab - 17b^2$

е) $4(3x + 4y)^2 - 7(2x - 3y)^2$

Раскроем квадраты:

$(3x + 4y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 4y + (4y)^2 = 9x^2 + 24xy + 16y^2$

$(2x - 3y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$

Подставим в выражение:

$4(9x^2 + 24xy + 16y^2) - 7(4x^2 - 12xy + 9y^2) = (36x^2 + 96xy + 64y^2) - (28x^2 - 84xy + 63y^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$36x^2 + 96xy + 64y^2 - 28x^2 + 84xy - 63y^2 = (36x^2 - 28x^2) + (96xy + 84xy) + (64y^2 - 63y^2) = 8x^2 + 180xy + y^2$

Ответ: $8x^2 + 180xy + y^2$

ж) $2(p - 3q)^2 - 4(2p - q)^2 - (2q - 3p)(p + q)$

Преобразуем каждое слагаемое по отдельности:

$2(p - 3q)^2 = 2(p^2 - 6pq + 9q^2) = 2p^2 - 12pq + 18q^2$

$-4(2p - q)^2 = -4(4p^2 - 4pq + q^2) = -16p^2 + 16pq - 4q^2$

$-(2q - 3p)(p + q) = -(2qp + 2q^2 - 3p^2 - 3pq) = -(2q^2 - pq - 3p^2) = -2q^2 + pq + 3p^2$

Теперь сложим полученные выражения:

$(2p^2 - 12pq + 18q^2) + (-16p^2 + 16pq - 4q^2) + (3p^2 + pq - 2q^2)$

Приведем подобные члены:

$(2p^2 - 16p^2 + 3p^2) + (-12pq + 16pq + pq) + (18q^2 - 4q^2 - 2q^2) = -11p^2 + 5pq + 12q^2$

Ответ: $-11p^2 + 5pq + 12q^2$

з) $5(n - 5m)^2 - 6(2n - 3m)^2 - (3m - n)(7m - n)$

Преобразуем каждое слагаемое:

$5(n - 5m)^2 = 5(n^2 - 10mn + 25m^2) = 5n^2 - 50mn + 125m^2$

$-6(2n - 3m)^2 = -6(4n^2 - 12mn + 9m^2) = -24n^2 + 72mn - 54m^2$

$-(3m - n)(7m - n) = -(21m^2 - 3mn - 7mn + n^2) = -(21m^2 - 10mn + n^2) = -21m^2 + 10mn - n^2$

Сложим полученные выражения и сгруппируем подобные члены:

$(125m^2 - 54m^2 - 21m^2) + (-50mn + 72mn + 10mn) + (5n^2 - 24n^2 - n^2)$

Приведем подобные члены:

$50m^2 + 32mn - 20n^2$

Ответ: $50m^2 + 32mn - 20n^2$

и) $(2p - q)^2 - 2(2p - q)(p - q) + (p - q)^2$

Это выражение является полным квадратом разности вида $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

В данном случае $a = (2p - q)$ и $b = (p - q)$.

Подставим эти значения в формулу $(a-b)^2$:

$((2p - q) - (p - q))^2 = (2p - q - p + q)^2 = p^2$

Ответ: $p^2$