Номер 367, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.3. Выделение полного квадрата. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 367, страница 106.

Условие.

367. Прибавьте к двучлену такой одночлен, чтобы полученный трёхчлен являлся полным квадратом:

а) $x^2 + 2x;$

б) $a^2 + 4ab;$

в) $m^2 + 1;$

г) $9 + 6p;$

д) $10y + 25;$

е) $16x^2 + 8xy.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения этой задачи мы будем использовать формулы квадрата суммы и квадрата разности:

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Наша цель — для каждого двучлена найти такой одночлен, который дополнит его до одного из этих трёхчленов (полного квадрата).

а) В выражении $x^2 + 2x$ мы имеем два члена. Давайте сопоставим их с формулой полного квадрата $a^2 + 2ab + b^2$.

Первый член $x^2$ можно принять за $a^2$, тогда $a=x$.

Второй член $2x$ можно принять за удвоенное произведение $2ab$. Подставив $a=x$, получаем: $2 \cdot x \cdot b = 2x$.

Из этого уравнения находим $b$: $b = \frac{2x}{2x} = 1$.

Третий член, которого не хватает для полного квадрата, это $b^2$. Вычисляем его: $b^2 = 1^2 = 1$.

Прибавив $1$ к исходному двучлену, мы получим трёхчлен $x^2 + 2x + 1$, который является полным квадратом: $(x+1)^2$.

Ответ: $1$.

б) Рассмотрим выражение $a^2 + 4ab$.

Первый член $a^2$ соответствует первому члену в формуле полного квадрата. Обозначим его как $A^2 = a^2$, откуда $A=a$.

Второй член $4ab$ примем за удвоенное произведение $2AB$. Подставим $A=a$: $2 \cdot a \cdot B = 4ab$.

Найдём $B$: $B = \frac{4ab}{2a} = 2b$.

Недостающий член — это $B^2$. Вычисляем его: $B^2 = (2b)^2 = 4b^2$.

Прибавив $4b^2$, получим $a^2 + 4ab + 4b^2$, что является полным квадратом $(a+2b)^2$.

Ответ: $4b^2$.

в) В выражении $m^2 + 1$ мы имеем два члена, которые являются квадратами.

Примем $a^2 = m^2$ (тогда $a=m$) и $b^2 = 1$ (тогда $b=1$).

В этом случае для полного квадрата не хватает среднего члена, который равен $\pm 2ab$.

Вычислим $2ab$: $2 \cdot m \cdot 1 = 2m$.

Таким образом, мы можем прибавить как $2m$, так и $-2m$.

1. Если прибавить $2m$, получим $m^2 + 2m + 1 = (m+1)^2$.

2. Если прибавить $-2m$, получим $m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2$.

Оба одночлена подходят.

Ответ: $2m$ или $-2m$.

г) Рассмотрим выражение $9 + 6p$.

Здесь член $9$ является полным квадратом: $9 = 3^2$. Примем его за $a^2$, тогда $a=3$.

Член $6p$ примем за удвоенное произведение $2ab$: $2 \cdot 3 \cdot b = 6p$.

Найдём $b$: $6b = 6p$, откуда $b=p$.

Недостающий член — это $b^2$. Вычисляем его: $b^2 = p^2$.

Прибавив $p^2$, получим $p^2 + 6p + 9$, что является полным квадратом $(p+3)^2$.

Ответ: $p^2$.

д) Рассмотрим выражение $10y + 25$.

Член $25$ является полным квадратом: $25 = 5^2$. Примем его за $b^2$, тогда $b=5$.

Член $10y$ примем за удвоенное произведение $2ab$: $2 \cdot a \cdot 5 = 10y$.

Найдём $a$: $10a = 10y$, откуда $a=y$.

Недостающий член — это $a^2$. Вычисляем его: $a^2 = y^2$.

Прибавив $y^2$, получим $y^2 + 10y + 25$, что является полным квадратом $(y+5)^2$.

Ответ: $y^2$.

е) Рассмотрим выражение $16x^2 + 8xy$.

Член $16x^2$ является полным квадратом: $16x^2 = (4x)^2$. Примем его за $a^2$, тогда $a=4x$.

Член $8xy$ примем за удвоенное произведение $2ab$: $2 \cdot (4x) \cdot b = 8xy$.

Найдём $b$: $8xb = 8xy$, откуда $b=y$.

Недостающий член — это $b^2$. Вычисляем его: $b^2 = y^2$.

Прибавив $y^2$, получим $16x^2 + 8xy + y^2$, что является полным квадратом $(4x+y)^2$.

Ответ: $y^2$.