Номер 371, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.3. Выделение полного квадрата. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 371, страница 107.

Условие.

Доказываем (371–373):

371. Докажите, что для любого числа x верно неравенство:

а) $x^2 + 2x + 1 \ge 0;$

б) $x^2 + 4x + 4 \ge 0;$

в) $x^2 - 6x + 9 \ge 0;$

г) $x^2 - 8x + 16 \ge 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Чтобы доказать неравенство $x^2 + 2x + 1 \ge 0$, заметим, что выражение в левой части является полным квадратом. Воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае $a=x$ и $b=1$. Проверим, соответствует ли этому средний член выражения: $2ab = 2 \cdot x \cdot 1 = 2x$. Соответствует.
Следовательно, мы можем свернуть левую часть неравенства: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
Теперь исходное неравенство можно переписать в виде: $(x+1)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа (в данном случае, числа $x+1$) всегда является неотрицательной величиной, то есть большим или равным нулю. Это свойство выполняется для любого значения $x$.
Таким образом, неравенство верно для любого числа $x$.
Ответ: Неравенство доказано.

б)

Докажем неравенство $x^2 + 4x + 4 \ge 0$. Левая часть этого неравенства также является полным квадратом. Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$ и $b=2$. Проверяем средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$.
Значит, выражение $x^2 + 4x + 4$ можно представить как $(x+2)^2$.
Неравенство принимает вид: $(x+2)^2 \ge 0$.
Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, это неравенство справедливо для любого значения $x$.
Ответ: Неравенство доказано.

в)

Докажем неравенство $x^2 - 6x + 9 \ge 0$. В этом случае левая часть представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$ и $b=3$. Проверяем средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 3 = 6x$. Знак "минус" перед ним соответствует формуле.
Следовательно, $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.
Исходное неравенство можно переписать как $(x-3)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю, поэтому данное неравенство верно для любого $x$.
Ответ: Неравенство доказано.

г)

Докажем неравенство $x^2 - 8x + 16 \ge 0$. Левая часть является полным квадратом разности. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном выражении $a=x$ и $b=4$. Проверяем средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 4 = 8x$.
Таким образом, $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$.
Неравенство принимает вид: $(x-4)^2 \ge 0$.
Это неравенство верно для любого действительного числа $x$, так как квадрат любого числа всегда является неотрицательной величиной (больше или равен нулю).
Ответ: Неравенство доказано.