Номер 373, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.3. Выделение полного квадрата. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 373, страница 107.

Условие.

373. Докажите, что для любых чисел x и y верно неравенство:

а) $x^2 + y^2 - 8x + 4y + 20 \ge 0;$

б) $x^2 + y^2 + 12x - 6y + 45 \ge 0;$

в) $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 34 \ge 0;$

г) $x^2 + y^2 + 10x - 10y + 50 \ge 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Для доказательства неравенства $x^2 + y^2 - 8x + 4y + 20 \ge 0$ преобразуем его левую часть, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 8x) + (y^2 + 4y) + 20$.
Выделим полный квадрат для $x$: $x^2 - 8x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4$. Для полного квадрата $(x-4)^2$ не хватает $4^2=16$. Добавим и вычтем 16: $(x^2 - 8x + 16) - 16 = (x - 4)^2 - 16$.
Выделим полный квадрат для $y$: $y^2 + 4y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 2$. Для полного квадрата $(y+2)^2$ не хватает $2^2=4$. Добавим и вычтем 4: $(y^2 + 4y + 4) - 4 = (y + 2)^2 - 4$.
Подставим обратно в выражение: $(x - 4)^2 - 16 + (y + 2)^2 - 4 + 20 = (x - 4)^2 + (y + 2)^2 + 0 = (x - 4)^2 + (y + 2)^2$.
Таким образом, исходное неравенство эквивалентно неравенству $(x - 4)^2 + (y + 2)^2 \ge 0$.
Это неравенство верно для любых чисел $x$ и $y$, поскольку квадрат любого числа является неотрицательным ($ (x - 4)^2 \ge 0 $ и $ (y + 2)^2 \ge 0 $), и их сумма также неотрицательна.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Для доказательства неравенства $x^2 + y^2 + 12x - 6y + 45 \ge 0$ преобразуем его левую часть, выделив полные квадраты.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + 12x) + (y^2 - 6y) + 45$.
Выделим полные квадраты: $(x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) - 6^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 45$
$= (x + 6)^2 - 36 + (y - 3)^2 - 9 + 45$
$= (x + 6)^2 + (y - 3)^2 + 0 = (x + 6)^2 + (y - 3)^2$.
Исходное неравенство эквивалентно неравенству $(x + 6)^2 + (y - 3)^2 \ge 0$.
Это неравенство верно, так как является суммой квадратов двух выражений, а квадрат любого числа всегда неотрицателен.
Ответ: Неравенство доказано.

в) Для доказательства неравенства $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 34 \ge 0$ преобразуем его левую часть, выделив полные квадраты.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 6x) + (y^2 + 10y) + 34$.
Выделим полные квадраты: $(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + (y^2 + 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 34$
$= (x - 3)^2 - 9 + (y + 5)^2 - 25 + 34$
$= (x - 3)^2 + (y + 5)^2 + 0 = (x - 3)^2 + (y + 5)^2$.
Исходное неравенство эквивалентно неравенству $(x - 3)^2 + (y + 5)^2 \ge 0$.
Это неравенство верно, так как является суммой двух неотрицательных слагаемых.
Ответ: Неравенство доказано.

г) Для доказательства неравенства $x^2 + y^2 + 10x - 10y + 50 \ge 0$ преобразуем его левую часть, выделив полные квадраты.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + 10x) + (y^2 - 10y) + 50$.
Выделим полные квадраты: $(x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 50$
$= (x + 5)^2 - 25 + (y - 5)^2 - 25 + 50$
$= (x + 5)^2 + (y - 5)^2 + 0 = (x + 5)^2 + (y - 5)^2$.
Исходное неравенство эквивалентно неравенству $(x + 5)^2 + (y - 5)^2 \ge 0$.
Это неравенство верно, так как является суммой квадратов двух выражений, а квадрат любого числа всегда неотрицателен.
Ответ: Неравенство доказано.