Номер 380, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.4. Разность квадратов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 380, страница 108.

Условие.

380. Представьте выражение в виде разности квадратов:

а) $x^4 - 1$;

б) $4a^2 - 4$;

в) $m^6 - 25$;

г) $16y^2 - 49x^2$;

д) $9p^4 - 16q^6$;

е) $36m^2 - 16n^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для представления выражения в виде разности квадратов используется основная идея: найти такие выражения A и B, для которых исходное выражение можно записать в форме $A^2 - B^2$. Для этого необходимо каждый член исходного выражения представить в виде квадрата.

а) Чтобы представить выражение $x^4 - 1$ в виде разности квадратов, необходимо каждый член выражения представить в виде квадрата некоторого выражения.

Первый член, $x^4$, можно представить как квадрат от $x^2$, так как по свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $(x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$.

Второй член, $1$, является квадратом числа $1$, то есть $1 = 1^2$.

Таким образом, выражение $x^4 - 1$ можно записать в виде разности квадратов: $(x^2)^2 - 1^2$.

Ответ: $(x^2)^2 - 1^2$.

б) Рассмотрим выражение $4a^2 - 4$.

Первый член, $4a^2$, можно представить как квадрат выражения $2a$, поскольку $(2a)^2 = 2^2 \cdot a^2 = 4a^2$.

Второй член, $4$, является квадратом числа $2$, то есть $4 = 2^2$.

Следовательно, выражение $4a^2 - 4$ в виде разности квадратов записывается как $(2a)^2 - 2^2$.

Ответ: $(2a)^2 - 2^2$.

в) Рассмотрим выражение $m^6 - 25$.

Первый член, $m^6$, можно представить как квадрат от $m^3$, так как по свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ имеем $(m^3)^2 = m^{3 \cdot 2} = m^6$.

Второй член, $25$, является квадратом числа $5$, то есть $25 = 5^2$.

Таким образом, выражение $m^6 - 25$ можно записать в виде разности квадратов: $(m^3)^2 - 5^2$.

Ответ: $(m^3)^2 - 5^2$.

г) Рассмотрим выражение $16y^2 - 49x^2$.

Первый член, $16y^2$, можно представить как квадрат выражения $4y$, поскольку $16=4^2$, и значит $(4y)^2 = 4^2 \cdot y^2 = 16y^2$.

Второй член, $49x^2$, можно представить как квадрат выражения $7x$, поскольку $49=7^2$, и значит $(7x)^2 = 7^2 \cdot x^2 = 49x^2$.

Следовательно, выражение $16y^2 - 49x^2$ в виде разности квадратов записывается как $(4y)^2 - (7x)^2$.

Ответ: $(4y)^2 - (7x)^2$.

д) Рассмотрим выражение $9p^4 - 16q^6$.

Первый член, $9p^4$, можно представить как квадрат выражения $3p^2$, поскольку $9=3^2$ и $p^4=(p^2)^2$, следовательно, $(3p^2)^2 = 3^2 \cdot (p^2)^2 = 9p^4$.

Второй член, $16q^6$, можно представить как квадрат выражения $4q^3$, поскольку $16=4^2$ и $q^6=(q^3)^2$, следовательно, $(4q^3)^2 = 4^2 \cdot (q^3)^2 = 16q^6$.

Таким образом, выражение $9p^4 - 16q^6$ можно записать в виде разности квадратов: $(3p^2)^2 - (4q^3)^2$.

Ответ: $(3p^2)^2 - (4q^3)^2$.

е) Рассмотрим выражение $36m^2 - 16n^2$.

Первый член, $36m^2$, можно представить как квадрат выражения $6m$, так как $36=6^2$, и значит $(6m)^2 = 6^2 \cdot m^2 = 36m^2$.

Второй член, $16n^2$, можно представить как квадрат выражения $4n$, так как $16=4^2$, и значит $(4n)^2 = 4^2 \cdot n^2 = 16n^2$.

Следовательно, выражение $36m^2 - 16n^2$ в виде разности квадратов записывается как $(6m)^2 - (4n)^2$.

Ответ: $(6m)^2 - (4n)^2$.