Номер 385, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.4. Разность квадратов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 385, страница 109.

Условие.

385. Упростите выражение:

а) $a(a - b) + b(a + b) + (a - b)(a + b);$

б) $(m - n)(n + m) - (m - n)^2 + 2n^2;$

в) $(c - d)^2 - (c + d)(d - c) + 2cd;$

г) $(2a + 5b)(5a - 2b) - 3(a + 2b)(a - 2b);$

д) $(p + 6)^2 - 4(3 - p)(3 + p);$

е) $-(2 + m)^2 + 2(1 + m)^2 - 2(1 - m)(m + 1);$

ж) $(x + y)^2 - (x - y)^2;$

з) $(m - n)^2 - (m + n)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $a(a - b) + b(a + b) + (a - b)(a + b)$

Раскроем скобки в каждом слагаемом. Для последнего слагаемого используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

$a(a - b) = a^2 - ab$

$b(a + b) = ab + b^2$

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Теперь сложим полученные выражения:

$(a^2 - ab) + (ab + b^2) + (a^2 - b^2) = a^2 - ab + ab + b^2 - b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 + a^2) + (-ab + ab) + (b^2 - b^2) = 2a^2 + 0 + 0 = 2a^2$

Ответ: $2a^2$.

б) $(m - n)(n + m) - (m - n)^2 + 2n^2$

Для первого слагаемого используем формулу разности квадратов $(m-n)(m+n) = m^2 - n^2$. Для второго слагаемого используем формулу квадрата разности $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.

$(m^2 - n^2) - (m^2 - 2mn + n^2) + 2n^2$

Раскроем скобки, меняя знаки во втором выражении на противоположные:

$m^2 - n^2 - m^2 + 2mn - n^2 + 2n^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(m^2 - m^2) + 2mn + (-n^2 - n^2 + 2n^2) = 0 + 2mn + 0 = 2mn$

Ответ: $2mn$.

в) $(c - d)^2 - (c + d)(d - c) + 2cd$

Раскроем квадрат разности: $(c - d)^2 = c^2 - 2cd + d^2$.

Преобразуем второе слагаемое: $(c + d)(d - c) = (c + d)(-(c - d)) = -(c + d)(c - d) = -(c^2 - d^2) = -c^2 + d^2$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(c^2 - 2cd + d^2) - (-c^2 + d^2) + 2cd$

Раскроем скобки:

$c^2 - 2cd + d^2 + c^2 - d^2 + 2cd$

Приведем подобные слагаемые:

$(c^2 + c^2) + (-2cd + 2cd) + (d^2 - d^2) = 2c^2 + 0 + 0 = 2c^2$

Ответ: $2c^2$.

г) $(2a + 5b)(5a - 2b) - 3(a + 2b)(a - 2b)$

Раскроем первые скобки, перемножив многочлены:

$(2a + 5b)(5a - 2b) = 2a \cdot 5a + 2a \cdot (-2b) + 5b \cdot 5a + 5b \cdot (-2b) = 10a^2 - 4ab + 25ab - 10b^2 = 10a^2 + 21ab - 10b^2$

Во втором слагаемом используем формулу разности квадратов:

$3(a + 2b)(a - 2b) = 3(a^2 - (2b)^2) = 3(a^2 - 4b^2) = 3a^2 - 12b^2$

Подставим в исходное выражение:

$(10a^2 + 21ab - 10b^2) - (3a^2 - 12b^2) = 10a^2 + 21ab - 10b^2 - 3a^2 + 12b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(10a^2 - 3a^2) + 21ab + (-10b^2 + 12b^2) = 7a^2 + 21ab + 2b^2$

Ответ: $7a^2 + 21ab + 2b^2$.

д) $(p + 6)^2 - 4(3 - p)(3 + p)$

Раскроем квадрат суммы: $(p + 6)^2 = p^2 + 2 \cdot p \cdot 6 + 6^2 = p^2 + 12p + 36$.

Во втором слагаемом используем формулу разности квадратов:

$4(3 - p)(3 + p) = 4(3^2 - p^2) = 4(9 - p^2) = 36 - 4p^2$

Подставим в исходное выражение:

$(p^2 + 12p + 36) - (36 - 4p^2) = p^2 + 12p + 36 - 36 + 4p^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(p^2 + 4p^2) + 12p + (36 - 36) = 5p^2 + 12p$

Ответ: $5p^2 + 12p$.

е) $-(2 + m)^2 + 2(1 + m)^2 - 2(1 - m)(m + 1)$

Раскроем скобки в каждом слагаемом, используя формулы сокращенного умножения:

$-(2 + m)^2 = -(4 + 4m + m^2) = -4 - 4m - m^2$

$2(1 + m)^2 = 2(1 + 2m + m^2) = 2 + 4m + 2m^2$

$-2(1 - m)(m + 1) = -2(1 - m)(1 + m) = -2(1^2 - m^2) = -2(1 - m^2) = -2 + 2m^2$

Сложим полученные выражения:

$(-4 - 4m - m^2) + (2 + 4m + 2m^2) + (-2 + 2m^2) = -4 - 4m - m^2 + 2 + 4m + 2m^2 - 2 + 2m^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(-m^2 + 2m^2 + 2m^2) + (-4m + 4m) + (-4 + 2 - 2) = 3m^2 + 0 - 4 = 3m^2 - 4$

Ответ: $3m^2 - 4$.

ж) $(x + y)^2 - (x - y)^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x+y$ и $b = x-y$.

$((x+y) - (x-y)) \cdot ((x+y) + (x-y))$

Раскроем внутренние скобки:

$(x+y-x+y) \cdot (x+y+x-y)$

Упростим выражения в скобках:

$(2y) \cdot (2x) = 4xy$

Альтернативный способ:

Раскроем каждый квадрат по формуле:

$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 = 4xy$

Ответ: $4xy$.

з) $(m - n)^2 - (m + n)^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = m-n$ и $b = m+n$.

$((m-n) - (m+n)) \cdot ((m-n) + (m+n))$

Раскроем внутренние скобки:

$(m-n-m-n) \cdot (m-n+m+n)$

Упростим выражения в скобках:

$(-2n) \cdot (2m) = -4mn$

Альтернативный способ:

Раскроем каждый квадрат по формуле:

$(m^2 - 2mn + n^2) - (m^2 + 2mn + n^2) = m^2 - 2mn + n^2 - m^2 - 2mn - n^2 = -4mn$

Ответ: $-4mn$.