Номер 381, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.4. Разность квадратов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 381, страница 108.

Условие.

Разложите многочлен на множители (381–382):

381. а) $a^2 - b^2$;

б) $y^2 - x^2$;

в) $(2x)^2 - 1$;

г) $9 - (3m)^2$;

д) $16 - p^4$;

е) $25 - a^6$;

ж) $m^4 - n^2$;

з) $p^8 - 49$;

и) $1 - x^4$;

к) $a^4 - b^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения всех пунктов используется формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

а) Для разложения многочлена $a^2 - b^2$ на множители применим формулу разности квадратов. В данном случае $A = a$ и $B = b$.
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Ответ: $(a - b)(a + b)$

б) Многочлен $y^2 - x^2$ также является разностью квадратов. Здесь $A = y$ и $B = x$.
По формуле разности квадратов получаем:
$y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$.
Ответ: $(y - x)(y + x)$

в) Рассмотрим выражение $(2x)^2 - 1$. Представим его в виде разности квадратов. Здесь $A = 2x$ и $B = 1$, так как $1 = 1^2$.
Выражение принимает вид $(2x)^2 - 1^2$. Применяем формулу:
$(2x)^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$.
Ответ: $(2x - 1)(2x + 1)$

г) Для разложения выражения $9 - (3m)^2$ представим $9$ как $3^2$. Получаем разность квадратов $3^2 - (3m)^2$.
Здесь $A = 3$ и $B = 3m$. Применяя формулу, получаем:
$9 - (3m)^2 = (3 - 3m)(3 + 3m)$.
Для полного разложения можно вынести общий множитель 3 из каждой скобки:
$(3 - 3m)(3 + 3m) = 3(1 - m) \cdot 3(1 + m) = 9(1 - m)(1 + m)$.
Ответ: $9(1 - m)(1 + m)$

д) Рассмотрим выражение $16 - p^4$. Представим его в виде разности квадратов: $16 = 4^2$ и $p^4 = (p^2)^2$.
Получаем $4^2 - (p^2)^2$. Здесь $A = 4$ и $B = p^2$. Применяем формулу:
$16 - p^4 = (4 - p^2)(4 + p^2)$.
Заметим, что первый множитель $(4 - p^2)$ также является разностью квадратов: $4 - p^2 = 2^2 - p^2 = (2 - p)(2 + p)$.
Окончательное разложение:
$16 - p^4 = (2 - p)(2 + p)(4 + p^2)$.
Ответ: $(2 - p)(2 + p)(4 + p^2)$

е) Рассмотрим выражение $25 - a^6$. Представим его как разность квадратов: $25 = 5^2$ и $a^6 = (a^3)^2$.
Получаем $5^2 - (a^3)^2$. Здесь $A = 5$ и $B = a^3$. Применяем формулу:
$25 - a^6 = (5 - a^3)(5 + a^3)$.
Дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами невозможно.
Ответ: $(5 - a^3)(5 + a^3)$

ж) Рассмотрим выражение $m^4 - n^2$. Представим его как разность квадратов: $m^4 = (m^2)^2$.
Получаем $(m^2)^2 - n^2$. Здесь $A = m^2$ и $B = n$. Применяем формулу:
$m^4 - n^2 = (m^2 - n)(m^2 + n)$.
Так как $n$ не обязательно является полным квадратом, дальнейшее разложение в общем виде невозможно.
Ответ: $(m^2 - n)(m^2 + n)$

з) Рассмотрим выражение $p^8 - 49$. Представим его как разность квадратов: $p^8 = (p^4)^2$ и $49 = 7^2$.
Получаем $(p^4)^2 - 7^2$. Здесь $A = p^4$ и $B = 7$. Применяем формулу:
$p^8 - 49 = (p^4 - 7)(p^4 + 7)$.
Так как 7 не является полным квадратом, дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами невозможно.
Ответ: $(p^4 - 7)(p^4 + 7)$

и) Рассмотрим выражение $1 - x^4$. Представим его как разность квадратов: $1 = 1^2$ и $x^4 = (x^2)^2$.
Получаем $1^2 - (x^2)^2$. Здесь $A = 1$ и $B = x^2$. Применяем формулу:
$1 - x^4 = (1 - x^2)(1 + x^2)$.
Первый множитель $(1 - x^2)$ также является разностью квадратов: $1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$.
Окончательное разложение:
$1 - x^4 = (1 - x)(1 + x)(1 + x^2)$.
Ответ: $(1 - x)(1 + x)(1 + x^2)$

к) Рассмотрим выражение $a^4 - b^4$. Представим его как разность квадратов: $a^4 = (a^2)^2$ и $b^4 = (b^2)^2$.
Получаем $(a^2)^2 - (b^2)^2$. Здесь $A = a^2$ и $B = b^2$. Применяем формулу:
$a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.
Первый множитель $(a^2 - b^2)$ также является разностью квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Окончательное разложение:
$a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.
Ответ: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$