Номер 386, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.4. Разность квадратов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 386, страница 109.

Условие.

386. Доказываем. Докажите тождество:

а) $(a-b)^2 + (a-b)(b+a) = 2a(a-b)$

б) $2(x+5)^2 - 2(5-x)(5+x) = 4x(x+5)$

в) $2(c-3)^2 - 4(1-c)(c+1) = 6(c-1)^2 + 8$

г) $3(m-4)(4+m) - 3(2-m)^2 = 12(m-5)$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы доказать тождество $(a - b)^2 + (a - b)(b + a) = 2a(a - b)$, преобразуем его левую часть. Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:
$(a - b)^2 + (a - b)(b + a) = (a - b) \cdot ((a - b) + (b + a))$
Упростим выражение во второй скобке:
$(a - b) \cdot (a - b + b + a) = (a - b) \cdot (2a)$
Переставив множители, получаем:
$2a(a - b)$
В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой части: $2a(a - b) = 2a(a - b)$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $2(x + 5)^2 - 2(5 - x)(5 + x) = 4x(x + 5)$, преобразуем его левую часть. Сначала вынесем за скобки общий множитель 2:
$2 \cdot ((x + 5)^2 - (5 - x)(5 + x))$
Теперь в выражении внутри скобок вынесем общий множитель $(x+5)$:
$2 \cdot (x + 5) \cdot ((x + 5) - (5 - x))$
Упростим выражение в последних скобках:
$2(x + 5)(x + 5 - 5 + x) = 2(x + 5)(2x)$
Перемножив множители, получаем:
$4x(x + 5)$
Левая часть тождества равна правой: $4x(x + 5) = 4x(x + 5)$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

в) Чтобы доказать тождество $2(c - 3)^2 - 4(1 - c)(c + 1) = 6(c - 1)^2 + 8$, преобразуем отдельно левую и правую части.
Преобразуем левую часть (ЛЧ):
ЛЧ = $2(c - 3)^2 - 4(1 - c)(c + 1) = 2(c^2 - 6c + 9) - 4(1 - c^2) = 2c^2 - 12c + 18 - 4 + 4c^2 = 6c^2 - 12c + 14$
Преобразуем правую часть (ПЧ):
ПЧ = $6(c - 1)^2 + 8 = 6(c^2 - 2c + 1) + 8 = 6c^2 - 12c + 6 + 8 = 6c^2 - 12c + 14$
Так как в результате преобразований левая и правая части стали равны ($6c^2 - 12c + 14 = 6c^2 - 12c + 14$), тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

г) Чтобы доказать тождество $3(m - 4)(4 + m) - 3(2 - m)^2 = 12(m - 5)$, преобразуем отдельно левую и правую части.
Преобразуем левую часть (ЛЧ), используя формулу разности квадратов и квадрата разности:
ЛЧ = $3(m^2 - 16) - 3(4 - 4m + m^2) = 3m^2 - 48 - 12 + 12m - 3m^2 = 12m - 60$
Преобразуем правую часть (ПЧ), раскрыв скобки:
ПЧ = $12(m - 5) = 12m - 60$
Так как левая и правая части равны ($12m - 60 = 12m - 60$), тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.