Номер 383, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.4. Разность квадратов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 383, страница 108.

Условие.

383. Доказываем. Пользуясь рисунком 15, докажите формулу разности квадратов для $a > 0, b > 0, a > b$.

Рис. 15

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для доказательства формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ воспользуемся геометрической интерпретацией, представленной на рисунке 15. На рисунке изображён большой квадрат со стороной $a$, площадь которого равна $S_{большой} = a^2$.

Этот квадрат, в свою очередь, разделен на четыре меньшие прямоугольные области:

1. 1. Квадрат в левом верхнем углу со стороной $(a-b)$. Его площадь равна $(a-b)^2$.
2. 2. Прямоугольник в правом верхнем углу (закрашенный) со сторонами $b$ и $(a-b)$. Его площадь равна $b(a-b)$.
3. 3. Прямоугольник в левом нижнем углу (закрашенный) со сторонами $(a-b)$ и $b$. Его площадь равна $(a-b)b$.
4. 4. Квадрат в правом нижнем углу со стороной $b$. Его площадь равна $b^2$.

Левая часть доказываемой формулы, выражение $a^2 - b^2$, геометрически представляет собой площадь большого квадрата ($a^2$) за вычетом площади квадрата в правом нижнем углу ($b^2$). Эта площадь соответствует сумме площадей трёх оставшихся фигур: левого верхнего квадрата и двух закрашенных прямоугольников. Запишем это в виде математического выражения:

$a^2 - b^2 = (a-b)^2 + b(a-b) + (a-b)b$

Теперь преобразуем правую часть этого равенства. Можно заметить, что у всех трёх слагаемых есть общий множитель $(a-b)$. Вынесем его за скобки:

$a^2 - b^2 = (a-b) \cdot [(a-b) + b + b]$

Упростим выражение в квадратных скобках, раскрыв их и приведя подобные члены:

$a^2 - b^2 = (a-b) \cdot (a - b + b + b)$

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Таким образом, мы геометрически и алгебраически показали, что площадь фигуры, равная $a^2 - b^2$, также равна $(a-b)(a+b)$. Следовательно, формула верна.

Ответ: Формула доказана. Площадь $a^2 - b^2$ на рисунке представлена как сумма площадей трёх частей: $(a-b)^2$, $b(a-b)$ и $(a-b)b$. После вынесения общего множителя $(a-b)$ за скобки и упрощения выражения в скобках $[(a-b) + b + b]$ получается $(a-b)(a+b)$, что и доказывает тождество $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.