Номер 382, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.4. Разность квадратов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 382, страница 108.

Условие.

382. а) $4a^2 - 1;$

б) $4a^2 - 9b^2;$

В) $9x^4 - 4;$

Г) $x^4 - 16.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для разложения выражения $4a^2 - 1$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим выражение в виде разности квадратов. Слагаемое $4a^2$ является квадратом выражения $2a$, то есть $4a^2 = (2a)^2$. Слагаемое $1$ является квадратом числа $1$, то есть $1 = 1^2$.

Таким образом, $4a^2 - 1 = (2a)^2 - 1^2$.

Применяя формулу разности квадратов, где $A = 2a$ и $B = 1$, получаем:

$(2a)^2 - 1^2 = (2a - 1)(2a + 1)$.

Ответ: $(2a - 1)(2a + 1)$

б) Для разложения выражения $4a^2 - 9b^2$ на множители снова используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим каждое слагаемое в виде квадрата. $4a^2 = (2a)^2$ и $9b^2 = (3b)^2$.

Следовательно, выражение можно переписать как $(2a)^2 - (3b)^2$.

Применяя формулу, где $A = 2a$ и $B = 3b$, получаем:

$(2a)^2 - (3b)^2 = (2a - 3b)(2a + 3b)$.

Ответ: $(2a - 3b)(2a + 3b)$

в) Для разложения выражения $9x^4 - 4$ на множители используем ту же формулу разности квадратов.

Представим слагаемые в виде квадратов. Слагаемое $9x^4$ является квадратом выражения $3x^2$, так как $(3x^2)^2 = 3^2 \cdot (x^2)^2 = 9x^4$. Слагаемое $4$ является квадратом числа $2$, то есть $4=2^2$.

Выражение принимает вид: $(3x^2)^2 - 2^2$.

Применяя формулу, где $A = 3x^2$ и $B = 2$, получаем:

$(3x^2)^2 - 2^2 = (3x^2 - 2)(3x^2 + 2)$.

Ответ: $(3x^2 - 2)(3x^2 + 2)$

г) Для разложения выражения $x^4 - 16$ на множители применим формулу разности квадратов последовательно.

Сначала представим выражение как разность квадратов: $x^4 = (x^2)^2$ и $16 = 4^2$.

Получаем: $x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2$.

Применяя формулу, где $A = x^2$ и $B = 4$, имеем:

$(x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$.

Заметим, что первый множитель $(x^2 - 4)$ также является разностью квадратов, так как $x^2 = (x)^2$ и $4 = 2^2$.

Разложим его по той же формуле: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Второй множитель $(x^2 + 4)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Собирая все вместе, получаем итоговое разложение:

$x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$