Номер 389, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.4. Разность квадратов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 389, страница 109.

Условие.

389. a) $(3x + y)^2 - (2x - 3y)^2$;

б) $(4x + 3y)^2 - (3x - 4y)^2;

В) $(5x - 2y)^2 - (2x - y)^2;

Г) $(2x - 4y)^2 - (5x + y)^2;

Д) $(2x^2 - y)^2 - x^4;

е) $(x^2 - 2y)^2 - y^4;

Ж) $(3x^2 - 2y)^2 - 4x^4;

з) $(4x^2 + 3y)^2 - 9y^4.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $(3x + y)^2 - (2x - 3y)^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 3x + y$ и $b = 2x - 3y$.

$((3x + y) - (2x - 3y))((3x + y) + (2x - 3y)) = (3x + y - 2x + 3y)(3x + y + 2x - 3y)$

Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:

$(x + 4y)(5x - 2y)$

Теперь раскроем скобки, перемножив многочлены:

$x \cdot 5x + x \cdot (-2y) + 4y \cdot 5x + 4y \cdot (-2y) = 5x^2 - 2xy + 20xy - 8y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$5x^2 + 18xy - 8y^2$

Ответ: $5x^2 + 18xy - 8y^2$.

б) $(4x + 3y)^2 - (3x - 4y)^2$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 4x + 3y$ и $b = 3x - 4y$.

$((4x + 3y) - (3x - 4y))((4x + 3y) + (3x - 4y)) = (4x + 3y - 3x + 4y)(4x + 3y + 3x - 4y)$

Упростим выражения в скобках:

$(x + 7y)(7x - y)$

Раскроем скобки:

$x \cdot 7x + x \cdot (-y) + 7y \cdot 7x + 7y \cdot (-y) = 7x^2 - xy + 49xy - 7y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$7x^2 + 48xy - 7y^2$

Ответ: $7x^2 + 48xy - 7y^2$.

в) $(5x - 2y)^2 - (2x - y)^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 5x - 2y$ и $b = 2x - y$.

$((5x - 2y) - (2x - y))((5x - 2y) + (2x - y)) = (5x - 2y - 2x + y)(5x - 2y + 2x - y)$

Упростим выражения в скобках:

$(3x - y)(7x - 3y)$

Раскроем скобки:

$3x \cdot 7x + 3x \cdot (-3y) - y \cdot 7x - y \cdot (-3y) = 21x^2 - 9xy - 7xy + 3y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$21x^2 - 16xy + 3y^2$

Ответ: $21x^2 - 16xy + 3y^2$.

г) $(2x - 4y)^2 - (5x + y)^2$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2x - 4y$ и $b = 5x + y$.

$((2x - 4y) - (5x + y))((2x - 4y) + (5x + y)) = (2x - 4y - 5x - y)(2x - 4y + 5x + y)$

Упростим выражения в скобках:

$(-3x - 5y)(7x - 3y)$

Раскроем скобки:

$(-3x) \cdot 7x + (-3x) \cdot (-3y) - 5y \cdot 7x - 5y \cdot (-3y) = -21x^2 + 9xy - 35xy + 15y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$-21x^2 - 26xy + 15y^2$

Ответ: $-21x^2 - 26xy + 15y^2$.

д) $(2x^2 - y)^2 - x^4$

Представим $x^4$ как $(x^2)^2$. Выражение примет вид $(2x^2 - y)^2 - (x^2)^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2x^2 - y$ и $b = x^2$.

$((2x^2 - y) - x^2)((2x^2 - y) + x^2) = (2x^2 - y - x^2)(2x^2 - y + x^2)$

Упростим выражения в скобках:

$(x^2 - y)(3x^2 - y)$

Раскроем скобки:

$x^2 \cdot 3x^2 + x^2 \cdot (-y) - y \cdot 3x^2 - y \cdot (-y) = 3x^4 - x^2y - 3x^2y + y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^4 - 4x^2y + y^2$

Ответ: $3x^4 - 4x^2y + y^2$.

е) $(x^2 - 2y)^2 - y^4$

Для упрощения этого выражения сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x^2 - 2y)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 2y + (2y)^2 = x^4 - 4x^2y + 4y^2$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(x^4 - 4x^2y + 4y^2) - y^4 = x^4 - 4x^2y + 4y^2 - y^4$

В получившемся многочлене нет подобных слагаемых, поэтому это и есть окончательный вид.

Ответ: $x^4 - 4x^2y + 4y^2 - y^4$.

ж) $(3x^2 - 2y)^2 - 4x^4$

Представим $4x^4$ как $(2x^2)^2$. Выражение примет вид $(3x^2 - 2y)^2 - (2x^2)^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 3x^2 - 2y$ и $b = 2x^2$.

$((3x^2 - 2y) - 2x^2)((3x^2 - 2y) + 2x^2) = (3x^2 - 2y - 2x^2)(3x^2 - 2y + 2x^2)$

Упростим выражения в скобках:

$(x^2 - 2y)(5x^2 - 2y)$

Раскроем скобки:

$x^2 \cdot 5x^2 + x^2 \cdot (-2y) - 2y \cdot 5x^2 - 2y \cdot (-2y) = 5x^4 - 2x^2y - 10x^2y + 4y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$5x^4 - 12x^2y + 4y^2$

Ответ: $5x^4 - 12x^2y + 4y^2$.

з) $(4x^2 + 3y)^2 - 9y^4$

Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(4x^2 + 3y)^2 = (4x^2)^2 + 2 \cdot 4x^2 \cdot 3y + (3y)^2 = 16x^4 + 24x^2y + 9y^2$

Подставим результат в исходное выражение:

$(16x^4 + 24x^2y + 9y^2) - 9y^4 = 16x^4 + 24x^2y + 9y^2 - 9y^4$

В получившемся многочлене нет подобных слагаемых.

Ответ: $16x^4 + 24x^2y + 9y^2 - 9y^4$.