Номер 394, страница 110 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.5. Сумма кубов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 394, страница 110.

Условие.

394. Запишите выражение в виде многочлена:

а) $(m + n)(m^2 - mn + n^2)$;

Б) $(q + p)(p^2 - pq + q^2)$;

В) $(a + 1)(a^2 - a + 1)$;

Г) $(2 + x)(4 - 2x + x^2)$;

Д) $(p^2 - 4p + 16)(p + 4)$;

Е) $(25 - 5m + m^2)(5 + m).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Данное выражение является произведением суммы двух выражений на их неполный квадрат разности. Это соответствует формуле сокращенного умножения для суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$. В данном случае $a=m$ и $b=n$.
Применим формулу:
$(m + n)(m^2 - mn + n^2) = m^3 + n^3$.
Ответ: $m^3 + n^3$.

б) Переставим слагаемые в первой скобке, используя переместительное свойство сложения: $(q + p) = (p + q)$. Выражение примет вид: $(p + q)(p^2 - pq + q^2)$.
Это выражение соответствует формуле суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=p$ и $b=q$.
Применив формулу, получим:
$(p + q)(p^2 - pq + q^2) = p^3 + q^3$.
Ответ: $p^3 + q^3$.

в) Это выражение также соответствует формуле суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.
Здесь $a$ в формуле соответствует $a$ в выражении, а $b=1$. Проверим вторую скобку: $a^2 - a \cdot 1 + 1^2 = a^2 - a + 1$, что совпадает с выражением в задаче.
Следовательно, мы можем применить формулу:
$(a + 1)(a^2 - a + 1) = a^3 + 1^3 = a^3 + 1$.
Ответ: $a^3 + 1$.

г) Рассмотрим выражение $(2 + x)(4 - 2x + x^2)$. Оно соответствует формуле суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.
В этом случае $a = 2$ и $b = x$. Проверим соответствие второй скобки: $a^2 - ab + b^2 = 2^2 - 2 \cdot x + x^2 = 4 - 2x + x^2$. Выражение совпадает.
Применяем формулу:
$(2 + x)(4 - 2x + x^2) = 2^3 + x^3 = 8 + x^3$.
Ответ: $8 + x^3$.

д) Для удобства поменяем множители местами: $(p^2 - 4p + 16)(p + 4) = (p + 4)(p^2 - 4p + 16)$.
Это выражение соответствует формуле суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.
Здесь $a = p$ и $b = 4$. Проверим вторую скобку: $a^2 - ab + b^2 = p^2 - p \cdot 4 + 4^2 = p^2 - 4p + 16$. Выражение совпадает.
Применяем формулу:
$(p + 4)(p^2 - 4p + 16) = p^3 + 4^3 = p^3 + 64$.
Ответ: $p^3 + 64$.

е) Поменяем множители местами: $(25 - 5m + m^2)(5 + m) = (5 + m)(25 - 5m + m^2)$.
Это выражение является формулой суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.
Здесь $a = 5$ и $b = m$. Проверим вторую скобку: $a^2 - ab + b^2 = 5^2 - 5 \cdot m + m^2 = 25 - 5m + m^2$. Выражение совпадает.
Применяя формулу, получаем:
$(5 + m)(25 - 5m + m^2) = 5^3 + m^3 = 125 + m^3$.
Ответ: $125 + m^3$.