Номер 399, страница 111 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.5. Сумма кубов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 399, страница 111.

Условие.

399. Подберите одночлены А, В и С так, чтобы выполнялось равенство:

а) $m^3 + A = (m + B)(m^2 - mn + n^2)$;

б) $(x + A)(x^2 - 5x + 25) = x^3 + B$;

в) $(2x + 3y)(A - B + C) = 8x^3 + 27y^3$;

г) $(4a + 3b)(A - B + C) = 64a^3 + 27b^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) В равенстве $m^3 + A = (m + B)(m^2 - mn + n^2)$ правая часть является разложением на множители. Это разложение похоже на формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Сравнивая выражение $(m + B)(m^2 - mn + n^2)$ с формулой, мы можем предположить, что $x=m$. Тогда неполный квадрат разности $(m^2 - mn + n^2)$ соответствует части $(x^2 - xy + y^2)$. Отсюда следует, что $y=n$.

При таких значениях $x$ и $y$ первый множитель $(x+y)$ должен быть равен $(m+n)$. Сравнивая его с $(m+B)$, находим, что одночлен $B$ равен $n$.

Тогда правая часть равенства принимает вид $(m + n)(m^2 - mn + n^2)$, что по формуле суммы кубов равно $m^3 + n^3$.

Исходное равенство становится: $m^3 + A = m^3 + n^3$.

Отсюда следует, что одночлен $A$ равен $n^3$.

Ответ: $A = n^3$, $B = n$.

б) Рассмотрим равенство $(x + A)(x^2 - 5x + 25) = x^3 + B$. Снова воспользуемся формулой суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Сравним множитель $(x^2 - 5x + 25)$ с выражением $(x^2 - xy + y^2)$. Если принять, что первый член $x$ совпадает, то $-xy = -5x$, откуда $y=5$. Проверим последний член: $y^2 = 5^2 = 25$. Совпадение полное.

Значит, первый множитель $(x+A)$ должен быть равен $(x+y)$, то есть $(x+5)$. Отсюда находим, что $A = 5$.

Теперь левая часть равенства представляет собой произведение $(x + 5)(x^2 - 5x + 25)$, которое равно $x^3 + 5^3 = x^3 + 125$.

Исходное равенство принимает вид: $x^3 + 125 = x^3 + B$.

Из этого следует, что $B = 125$.

Ответ: $A = 5$, $B = 125$.

в) В равенстве $(2x + 3y)(A - B + C) = 8x^3 + 27y^3$ правая часть представляет собой сумму кубов.

Представим $8x^3 + 27y^3$ как $(2x)^3 + (3y)^3$.

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 2x$ и $b = 3y$.

$(2x)^3 + (3y)^3 = (2x + 3y)((2x)^2 - (2x)(3y) + (3y)^2) = (2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$.

Теперь исходное равенство можно записать как: $(2x + 3y)(A - B + C) = (2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$.

Так как первые множители $(2x + 3y)$ совпадают, то должны совпадать и вторые множители:

$A - B + C = 4x^2 - 6xy + 9y^2$.

Сопоставляя одночлены, получаем: $A = 4x^2$, $-B = -6xy \Rightarrow B = 6xy$, $C = 9y^2$.

Ответ: $A = 4x^2$, $B = 6xy$, $C = 9y^2$.

г) Рассмотрим равенство $(4a + 3b)(A - B + C) = 64a^3 + 27b^3$. Правая часть является суммой кубов.

Перепишем $64a^3 + 27b^3$ в виде $(4a)^3 + (3b)^3$.

Используем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = 4a$ и $y = 3b$.

$(4a)^3 + (3b)^3 = (4a + 3b)((4a)^2 - (4a)(3b) + (3b)^2) = (4a + 3b)(16a^2 - 12ab + 9b^2)$.

Подставим это в исходное равенство:

$(4a + 3b)(A - B + C) = (4a + 3b)(16a^2 - 12ab + 9b^2)$.

Приравнивая вторые множители, получаем:

$A - B + C = 16a^2 - 12ab + 9b^2$.

Путем сопоставления одночленов находим: $A = 16a^2$, $-B = -12ab \Rightarrow B = 12ab$, $C = 9b^2$.

Ответ: $A = 16a^2$, $B = 12ab$, $C = 9b^2$.