Номер 400, страница 111 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.5. Сумма кубов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 400, страница 111.

Условие.

400. Упростите выражение:

а) $(x+1)(x^2-x+1)-(x^2-1)x;$

б) $(a^3-b^3)(a^3+b^3)+(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4);$

в) $(3+m)(m^2-3m+9)-m(m-2)^2;$

г) $(p^6-q^3)(p^6+q^3)-(p^8-p^4q^2+q^4)(p^4+q^2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для упрощения выражения $(x + 1)(x^2 - x + 1) - (x^2 - 1)x$ необходимо применить формулы сокращенного умножения и раскрыть скобки.
Первое произведение $(x + 1)(x^2 - x + 1)$ является формулой суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$. В данном случае $a = x$ и $b = 1$, поэтому получаем:
$(x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1$.
Далее раскроем скобки во второй части выражения $-(x^2 - 1)x$:
$-(x^2 \cdot x - 1 \cdot x) = -(x^3 - x) = -x^3 + x$.
Теперь объединим полученные результаты и приведем подобные слагаемые:
$(x^3 + 1) + (-x^3 + x) = x^3 + 1 - x^3 + x = (x^3 - x^3) + x + 1 = x + 1$.
Ответ: $x + 1$.

б) Рассмотрим выражение $(a^3 - b^3)(a^3 + b^3) + (a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$.
Первое произведение $(a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$ упрощается по формуле разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$. Здесь $x=a^3$ и $y=b^3$, следовательно:
$(a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a^3)^2 - (b^3)^2 = a^6 - b^6$.
Второе произведение $(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$ является формулой суммы кубов: $(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$. Здесь $x=a^2$ и $y=b^2$, следовательно:
$(a^2 + b^2)((a^2)^2 - a^2b^2 + (b^2)^2) = (a^2)^3 + (b^2)^3 = a^6 + b^6$.
Сложим полученные выражения:
$(a^6 - b^6) + (a^6 + b^6) = a^6 - b^6 + a^6 + b^6 = (a^6 + a^6) + (-b^6 + b^6) = 2a^6$.
Ответ: $2a^6$.

в) Упростим выражение $(3 + m)(m^2 - 3m + 9) - m(m - 2)^2$.
Первая часть $(3 + m)(m^2 - 3m + 9)$ представляет собой формулу суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$, где $a=m$ и $b=3$. Получаем:
$(m + 3)(m^2 - m \cdot 3 + 3^2) = m^3 + 3^3 = m^3 + 27$.
Во второй части $-m(m - 2)^2$ сначала раскроем квадрат разности по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(m - 2)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 2 + 2^2 = m^2 - 4m + 4$.
Затем результат умножим на $-m$:
$-m(m^2 - 4m + 4) = -m^3 + 4m^2 - 4m$.
Объединим обе части и приведем подобные слагаемые:
$(m^3 + 27) + (-m^3 + 4m^2 - 4m) = m^3 + 27 - m^3 + 4m^2 - 4m = (m^3 - m^3) + 4m^2 - 4m + 27 = 4m^2 - 4m + 27$.
Ответ: $4m^2 - 4m + 27$.

г) Упростим выражение $(p^6 - q^3)(p^6 + q^3) - (p^8 - p^4q^2 + q^4)(p^4 + q^2)$.
Первое произведение $(p^6 - q^3)(p^6 + q^3)$ является разностью квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=p^6$, $y=q^3$. Получаем:
$(p^6)^2 - (q^3)^2 = p^{12} - q^6$.
Вторая часть выражения $-(p^8 - p^4q^2 + q^4)(p^4 + q^2)$ со знаком минус является формулой суммы кубов. Перепишем для наглядности: $-(p^4 + q^2)(p^8 - p^4q^2 + q^4)$. По формуле $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=p^4$, $b=q^2$, имеем:
$-( (p^4)^3 + (q^2)^3 ) = -(p^{12} + q^6) = -p^{12} - q^6$.
Сложим полученные результаты:
$(p^{12} - q^6) + (-p^{12} - q^6) = p^{12} - q^6 - p^{12} - q^6 = (p^{12} - p^{12}) + (-q^6 - q^6) = -2q^6$.
Ответ: $-2q^6$.