Номер 398, страница 110 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.5. Сумма кубов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 398, страница 110.

Условие.

398. Разложите двучлен на множители:

а) $m^3 + n^3$;

б) $a^3 + 1$;

в) $b^3 + 8$;

г) $x^3 + y^6$;

д) $p^6 + q^6$;

е) $m^6 + n^{15}$;

ж) $27a^3 + b^3$;

з) $x^3 + 64y^3$;

и) $c^6 + 125d^3$;

к) $8p^6 + q^{12}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для разложения двучленов на множители в данной задаче используется формула суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.

а) $m^3 + n^3$

Это выражение является классическим примером суммы кубов, где $A = m$ и $B = n$. Применяя формулу, получаем:

$m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$.

Ответ: $(m + n)(m^2 - mn + n^2)$

б) $a^3 + 1$

Представим 1 как $1^3$, чтобы привести выражение к виду суммы кубов: $a^3 + 1^3$.

Применяем формулу, где $A = a$ и $B = 1$:

$a^3 + 1^3 = (a + 1)(a^2 - a \cdot 1 + 1^2) = (a + 1)(a^2 - a + 1)$.

Ответ: $(a + 1)(a^2 - a + 1)$

в) $b^3 + 8$

Представим 8 как $2^3$, чтобы привести выражение к виду суммы кубов: $b^3 + 2^3$.

Применяем формулу, где $A = b$ и $B = 2$:

$b^3 + 2^3 = (b + 2)(b^2 - b \cdot 2 + 2^2) = (b + 2)(b^2 - 2b + 4)$.

Ответ: $(b + 2)(b^2 - 2b + 4)$

г) $x^3 + y^6$

Представим $y^6$ как куб выражения, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$: $y^6 = (y^2)^3$.

Выражение принимает вид $x^3 + (y^2)^3$. Применяем формулу, где $A = x$ и $B = y^2$:

$x^3 + (y^2)^3 = (x + y^2)(x^2 - x(y^2) + (y^2)^2) = (x + y^2)(x^2 - xy^2 + y^4)$.

Ответ: $(x + y^2)(x^2 - xy^2 + y^4)$

д) $p^6 + q^6$

Представим оба слагаемых в виде кубов: $p^6 = (p^2)^3$ и $q^6 = (q^2)^3$.

Выражение принимает вид $(p^2)^3 + (q^2)^3$. Применяем формулу, где $A = p^2$ и $B = q^2$:

$(p^2)^3 + (q^2)^3 = (p^2 + q^2)((p^2)^2 - (p^2)(q^2) + (q^2)^2) = (p^2 + q^2)(p^4 - p^2q^2 + q^4)$.

Ответ: $(p^2 + q^2)(p^4 - p^2q^2 + q^4)$

е) $m^6 + n^{15}$

Представим слагаемые в виде кубов: $m^6 = (m^2)^3$ и $n^{15} = (n^5)^3$.

Выражение принимает вид $(m^2)^3 + (n^5)^3$. Применяем формулу, где $A = m^2$ и $B = n^5$:

$(m^2)^3 + (n^5)^3 = (m^2 + n^5)((m^2)^2 - (m^2)(n^5) + (n^5)^2) = (m^2 + n^5)(m^4 - m^2n^5 + n^{10})$.

Ответ: $(m^2 + n^5)(m^4 - m^2n^5 + n^{10})$

ж) $27a^3 + b^3$

Представим первое слагаемое в виде куба: $27a^3 = 3^3a^3 = (3a)^3$.

Выражение принимает вид $(3a)^3 + b^3$. Применяем формулу, где $A = 3a$ и $B = b$:

$(3a)^3 + b^3 = (3a + b)((3a)^2 - (3a)(b) + b^2) = (3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2)$.

Ответ: $(3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2)$

з) $x^3 + 64y^3$

Представим второе слагаемое в виде куба: $64y^3 = 4^3y^3 = (4y)^3$.

Выражение принимает вид $x^3 + (4y)^3$. Применяем формулу, где $A = x$ и $B = 4y$:

$x^3 + (4y)^3 = (x + 4y)(x^2 - x(4y) + (4y)^2) = (x + 4y)(x^2 - 4xy + 16y^2)$.

Ответ: $(x + 4y)(x^2 - 4xy + 16y^2)$

и) $c^6 + 125d^3$

Представим слагаемые в виде кубов: $c^6 = (c^2)^3$ и $125d^3 = 5^3d^3 = (5d)^3$.

Выражение принимает вид $(c^2)^3 + (5d)^3$. Применяем формулу, где $A = c^2$ и $B = 5d$:

$(c^2)^3 + (5d)^3 = (c^2 + 5d)((c^2)^2 - (c^2)(5d) + (5d)^2) = (c^2 + 5d)(c^4 - 5c^2d + 25d^2)$.

Ответ: $(c^2 + 5d)(c^4 - 5c^2d + 25d^2)$

к) $8p^6 + q^{12}$

Представим слагаемые в виде кубов: $8p^6 = 2^3(p^2)^3 = (2p^2)^3$ и $q^{12} = (q^4)^3$.

Выражение принимает вид $(2p^2)^3 + (q^4)^3$. Применяем формулу, где $A = 2p^2$ и $B = q^4$:

$(2p^2)^3 + (q^4)^3 = (2p^2 + q^4)((2p^2)^2 - (2p^2)(q^4) + (q^4)^2) = (2p^2 + q^4)(4p^4 - 2p^2q^4 + q^8)$.

Ответ: $(2p^2 + q^4)(4p^4 - 2p^2q^4 + q^8)$