Номер 397, страница 110 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.5. Сумма кубов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 397, страница 110.

Условие.

397. Представьте выражение в виде суммы кубов:

а) $x^3 + 8;$

б) $27 + a^3;$

в) $1 + m^6;$

г) $p^9 + 64;$

д) $x^6 + 8y^3;$

е) $a^9 + 27b^3;$

ж) $8m^6 + n^9;$

з) $64p^9 + q^{12};$

и) $\frac{1}{8} + x^6 y^9.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы представить выражение $x^3 + 8$ в виде суммы кубов, необходимо каждый член выражения представить в виде куба некоторого одночлена. Первый член $x^3$ уже является кубом переменной $x$. Второй член $8$ можно представить как $2^3$. Таким образом, выражение принимает вид:

$x^3 + 8 = (x)^3 + (2)^3$

Ответ: $(x)^3 + (2)^3$.

б) В выражении $27 + a^3$ первый член $27$ является кубом числа $3$, так как $27 = 3^3$. Второй член $a^3$ уже представлен в виде куба. Следовательно:

$27 + a^3 = (3)^3 + (a)^3$

Ответ: $(3)^3 + (a)^3$.

в) В выражении $1 + m^6$ представим каждый член в виде куба. Число $1$ можно записать как $1^3$. Член $m^6$ можно представить как куб, используя свойство степеней $(a^n)^k = a^{nk}$. В нашем случае $m^6 = m^{2 \cdot 3} = (m^2)^3$. Таким образом:

$1 + m^6 = (1)^3 + (m^2)^3$

Ответ: $(1)^3 + (m^2)^3$.

г) Для выражения $p^9 + 64$ представим $p^9$ как $(p^3)^3$, так как $p^9 = p^{3 \cdot 3}$. Число $64$ является кубом числа $4$, так как $64 = 4^3$. Получаем:

$p^9 + 64 = (p^3)^3 + (4)^3$

Ответ: $(p^3)^3 + (4)^3$.

д) В выражении $x^6 + 8y^3$ представим $x^6$ как $(x^2)^3$. Второй член $8y^3$ представим как куб произведения: $8y^3 = 2^3 \cdot y^3 = (2y)^3$. В результате получаем:

$x^6 + 8y^3 = (x^2)^3 + (2y)^3$

Ответ: $(x^2)^3 + (2y)^3$.

е) Для выражения $a^9 + 27b^3$ представим $a^9$ как $(a^3)^3$. Член $27b^3$ представим как куб произведения: $27b^3 = 3^3 \cdot b^3 = (3b)^3$. Следовательно:

$a^9 + 27b^3 = (a^3)^3 + (3b)^3$

Ответ: $(a^3)^3 + (3b)^3$.

ж) В выражении $8m^6 + n^9$ представим первый член $8m^6$ как куб произведения. $8 = 2^3$ и $m^6 = (m^2)^3$, поэтому $8m^6 = (2m^2)^3$. Второй член $n^9$ можно представить как $(n^3)^3$. Получаем сумму кубов:

$8m^6 + n^9 = (2m^2)^3 + (n^3)^3$

Ответ: $(2m^2)^3 + (n^3)^3$.

з) Для выражения $64p^9 + q^{12}$ представим каждый член в виде куба. $64p^9 = 4^3 \cdot (p^3)^3 = (4p^3)^3$. Второй член $q^{12}$ можно записать как $(q^4)^3$, так как $q^{12} = q^{4 \cdot 3}$. Таким образом:

$64p^9 + q^{12} = (4p^3)^3 + (q^4)^3$

Ответ: $(4p^3)^3 + (q^4)^3$.

и) В выражении $\frac{1}{8} + x^6y^9$ первый член $\frac{1}{8}$ является кубом дроби $\frac{1}{2}$, то есть $(\frac{1}{2})^3$. Второй член $x^6y^9$ можно представить в виде куба: $x^6 = (x^2)^3$ и $y^9 = (y^3)^3$, поэтому $x^6y^9 = (x^2y^3)^3$. В итоге получаем:

$\frac{1}{8} + x^6y^9 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 + (x^2y^3)^3$

Ответ: $\left(\frac{1}{2}\right)^3 + (x^2y^3)^3$.