Номер 401, страница 111 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.5. Сумма кубов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 401, страница 111.

Условие.

401. Доказываем. Докажите тождество:

а) $(a^3 + 1)(a - 1) = (a^2 - a + 1)(a^2 - 1);$

б) $m^3 + 1 = m(m + 1) + (1 - m)(1 - m^2);$

в) $(a + 2)(a^2 - 2a + 4) - a(a - 3)(3 + a) = 9a + 8;$

г) $m(m + n)(m - n) - (n + m)(m^2 - mn + n^2) = -n^2(m + n).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Докажем тождество $(a^3 + 1)(a - 1) = (a^2 - a + 1)(a^2 - 1)$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулы сокращенного умножения.

Левая часть: $(a^3 + 1)(a - 1)$.

Сначала применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ к выражению $a^3 + 1$, где $x=a$ и $y=1$:

$a^3 + 1^3 = (a + 1)(a^2 - a \cdot 1 + 1^2) = (a + 1)(a^2 - a + 1)$.

Подставим это в левую часть исходного равенства:

$(a + 1)(a^2 - a + 1)(a - 1)$.

Теперь сгруппируем множители следующим образом: $(a^2 - a + 1)((a + 1)(a - 1))$.

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ к выражению $(a + 1)(a - 1)$:

$(a + 1)(a - 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$.

В результате преобразования левая часть принимает вид: $(a^2 - a + 1)(a^2 - 1)$.

Мы получили выражение, в точности совпадающее с правой частью тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: После преобразования левая часть $(a^3 + 1)(a - 1)$ приводится к виду $(a^2 - a + 1)(a^2 - 1)$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

б) Докажем тождество $m^3 + 1 = m(m + 1) + (1 - m)(1 - m^2)$.

Для доказательства упростим правую часть равенства и покажем, что она равна левой части.

Правая часть: $m(m + 1) + (1 - m)(1 - m^2)$.

Раскроем скобки в каждом слагаемом:

$m(m + 1) = m^2 + m$.

$(1 - m)(1 - m^2) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-m^2) - m \cdot 1 - m \cdot (-m^2) = 1 - m^2 - m + m^3$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(m^2 + m) + (1 - m^2 - m + m^3) = m^2 + m + 1 - m^2 - m + m^3$.

Приведем подобные члены, сгруппировав их:

$(m^2 - m^2) + (m - m) + 1 + m^3 = 0 + 0 + 1 + m^3 = m^3 + 1$.

Результат упрощения правой части, $m^3 + 1$, совпадает с левой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: После упрощения правая часть $m(m + 1) + (1 - m)(1 - m^2)$ приводится к виду $m^3 + 1$, что совпадает с левой частью. Тождество доказано.

в) Докажем тождество $(a + 2)(a^2 - 2a + 4) - a(a - 3)(3 + a) = 9a + 8$.

Для доказательства упростим левую часть равенства.

Левая часть: $(a + 2)(a^2 - 2a + 4) - a(a - 3)(3 + a)$.

Первый член $(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$ представляет собой формулу суммы кубов $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$, где $x=a$ и $y=2$.

$(a + 2)(a^2 - 2a + 4) = a^3 + 2^3 = a^3 + 8$.

Второй член $-a(a - 3)(3 + a)$. Заметим, что $(a - 3)(3 + a) = (a - 3)(a + 3)$, что является формулой разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=a$ и $y=3$.

$(a - 3)(a + 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$.

Тогда второй член равен: $-a(a^2 - 9) = -a^3 + 9a$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в левую часть:

$(a^3 + 8) + (-a^3 + 9a) = a^3 + 8 - a^3 + 9a$.

Приведем подобные члены:

$(a^3 - a^3) + 9a + 8 = 9a + 8$.

Полученное выражение совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: После упрощения левая часть $(a + 2)(a^2 - 2a + 4) - a(a - 3)(3 + a)$ приводится к виду $9a + 8$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

г) Докажем тождество $m(m + n)(m - n) - (n + m)(m^2 - mn + n^2) = -n^2(m + n)$.

Для доказательства упростим левую часть равенства.

Левая часть: $m(m + n)(m - n) - (n + m)(m^2 - mn + n^2)$.

Упростим первый член $m(m + n)(m - n)$. Используя формулу разности квадратов для $(m + n)(m - n)$, получаем:

$m(m^2 - n^2) = m^3 - mn^2$.

Упростим второй член $-(n + m)(m^2 - mn + n^2)$. Выражение $(m + n)(m^2 - mn + n^2)$ является формулой суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, где $x=m$ и $y=n$.

$(m + n)(m^2 - mn + n^2) = m^3 + n^3$.

Тогда второй член равен: $-(m^3 + n^3) = -m^3 - n^3$.

Подставим упрощенные выражения в левую часть:

$(m^3 - mn^2) - (m^3 + n^3) = m^3 - mn^2 - m^3 - n^3$.

Приведем подобные члены:

$(m^3 - m^3) - mn^2 - n^3 = -mn^2 - n^3$.

Вынесем общий множитель $-n^2$ за скобки:

$-n^2(m + n)$.

Полученное выражение совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: После упрощения левая часть $m(m + n)(m - n) - (n + m)(m^2 - mn + n^2)$ приводится к виду $-n^2(m + n)$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.