Номер 406, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.6. Разность кубов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 406, страница 112.

Условие.

406. Является ли выражение полным или неполным квадратом суммы:

а) $x^2 + x + 1;$

б) $4 + 4x + x^2;$

в) $a^2 + 6ab + 9b^2;$

г) $100 + 10x + x^2;$

д) $\frac{1}{4}m^2 + \frac{1}{2}m + 1;$

е) $4p + 1 + 4p^2;$

ж) $0,25m^2 + mn + n^2;$

з) $4p^2 + \frac{1}{16}q^2 + pq?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для того чтобы определить, является ли выражение полным или неполным квадратом суммы, нужно сравнить его с формулой полного квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Если выражение соответствует этой формуле, оно является полным квадратом суммы. Если же средний член равен не удвоенному произведению $2ab$, а просто произведению $ab$, то выражение вида $a^2 + ab + b^2$ является неполным квадратом суммы.

а) $x^2 + x + 1$

В этом выражении можно предположить, что $a=x$ и $b=1$. Тогда $a^2 = x^2$ и $b^2 = 1^2 = 1$. Удвоенное произведение этих членов равно $2ab = 2 \cdot x \cdot 1 = 2x$. В данном выражении средний член равен $x$, что не совпадает с $2x$. Однако он совпадает с простым произведением $ab = x \cdot 1 = x$. Следовательно, это неполный квадрат суммы.

Ответ: неполный квадрат суммы.

б) $4 + 4x + x^2$

Перепишем выражение в стандартном виде: $x^2 + 4x + 4$. Здесь $a^2 = x^2$ (значит $a=x$) и $b^2 = 4$ (значит $b=2$). Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$. Он совпадает со средним членом в выражении. Следовательно, это полный квадрат суммы, который можно записать как $(x+2)^2$.

Ответ: полный квадрат суммы.

в) $a^2 + 6ab + 9b^2$

В этом выражении первый член $a^2$ является квадратом $a$, а третий член $9b^2$ является квадратом $3b$. Проверим, является ли средний член удвоенным произведением $a$ и $3b$: $2 \cdot a \cdot (3b) = 6ab$. Это совпадает со средним членом в выражении. Следовательно, это полный квадрат суммы, равный $(a+3b)^2$.

Ответ: полный квадрат суммы.

г) $100 + 10x + x^2$

Перепишем выражение: $x^2 + 10x + 100$. Здесь $a^2=x^2$ (т.е. $a=x$) и $b^2=100$ (т.е. $b=10$). Удвоенное произведение должно быть $2ab = 2 \cdot x \cdot 10 = 20x$. В выражении средний член равен $10x$. Это не полный квадрат. Простое произведение $ab = x \cdot 10 = 10x$, что совпадает со средним членом. Следовательно, это неполный квадрат суммы.

Ответ: неполный квадрат суммы.

д) $\frac{1}{4}m^2 + \frac{1}{2}m + 1$

Здесь $a^2 = \frac{1}{4}m^2$ (т.е. $a=\frac{1}{2}m$) и $b^2 = 1$ (т.е. $b=1$). Удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot \frac{1}{2}m \cdot 1 = m$. В выражении средний член равен $\frac{1}{2}m$. Это не полный квадрат. Простое произведение $ab = \frac{1}{2}m \cdot 1 = \frac{1}{2}m$, что совпадает со средним членом. Следовательно, это неполный квадрат суммы.

Ответ: неполный квадрат суммы.

е) $4p + 1 + 4p^2$

Переставим члены: $4p^2 + 4p + 1$. Здесь $a^2=4p^2$ (значит $a=2p$) и $b^2=1$ (значит $b=1$). Удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot (2p) \cdot 1 = 4p$. Это совпадает со средним членом в выражении. Следовательно, это полный квадрат суммы, равный $(2p+1)^2$.

Ответ: полный квадрат суммы.

ж) $0,25m^2 + mn + n^2$

Здесь $a^2 = 0,25m^2 = (0,5m)^2$ (значит $a=0,5m$) и $b^2 = n^2$ (значит $b=n$). Удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot (0,5m) \cdot n = mn$. Это совпадает со средним членом в выражении. Следовательно, это полный квадрат суммы, равный $(0,5m+n)^2$.

Ответ: полный квадрат суммы.

з) $4p^2 + \frac{1}{16}q^2 + pq$

Переставим члены для удобства: $4p^2 + pq + \frac{1}{16}q^2$. Здесь $a^2=4p^2$ (значит $a=2p$) и $b^2 = \frac{1}{16}q^2$ (значит $b=\frac{1}{4}q$). Удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot (2p) \cdot (\frac{1}{4}q) = 4p \cdot \frac{1}{4}q = pq$. Это совпадает со средним членом в выражении. Следовательно, это полный квадрат суммы, равный $(2p+\frac{1}{4}q)^2$.

Ответ: полный квадрат суммы.