Номер 409, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.6. Разность кубов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 409, страница 112.

Условие.

409. Разложите двучлен на множители:

а) $m^3 - 1;$

б) $p^3 - 27q^3;$

в) $125x^3 - 8y^3;$

г) $64a^3 + 1000b^3;$

д) $x^6 - y^6;$

е) $m^{12} - 64;$

ж) $x^9 - x^6;$

з) $c^6d^3 - k^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для разложения двучлена $m^3 - 1$ на множители воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В данном случае $a = m$ и $b = 1$.
Подставляем значения в формулу:
$m^3 - 1 = m^3 - 1^3 = (m - 1)(m^2 + m \cdot 1 + 1^2) = (m - 1)(m^2 + m + 1)$.
Ответ: $(m - 1)(m^2 + m + 1)$

б) Представим двучлен в виде разности кубов: $p^3 - 27q^3 = p^3 - (3q)^3$. Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = p$ и $b = 3q$.
$p^3 - (3q)^3 = (p - 3q)(p^2 + p(3q) + (3q)^2) = (p - 3q)(p^2 + 3pq + 9q^2)$.
Ответ: $(p - 3q)(p^2 + 3pq + 9q^2)$

в) Представим двучлен в виде разности кубов: $125x^3 - 8y^3 = (5x)^3 - (2y)^3$. Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 5x$ и $b = 2y$.
$(5x)^3 - (2y)^3 = (5x - 2y)((5x)^2 + (5x)(2y) + (2y)^2) = (5x - 2y)(25x^2 + 10xy + 4y^2)$.
Ответ: $(5x - 2y)(25x^2 + 10xy + 4y^2)$

г) Сначала вынесем общий множитель 8 за скобки: $64a^3 + 1000b^3 = 8(8a^3 + 125b^3)$.
Теперь разложим выражение в скобках по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Представим $8a^3 + 125b^3$ как $(2a)^3 + (5b)^3$. Здесь $a = 2a$, $b = 5b$.
$8((2a)^3 + (5b)^3) = 8(2a + 5b)((2a)^2 - (2a)(5b) + (5b)^2) = 8(2a + 5b)(4a^2 - 10ab + 25b^2)$.
Ответ: $8(2a + 5b)(4a^2 - 10ab + 25b^2)$

д) Данный двучлен можно разложить, представив его как разность квадратов: $x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^3$, $b = y^3$:
$(x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$.
Теперь применим формулы разности кубов и суммы кубов к каждому множителю:
$(x - y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

е) Представим выражение как разность квадратов: $m^{12} - 64 = (m^6)^2 - 8^2$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = m^6$ и $b = 8$:
$(m^6)^2 - 8^2 = (m^6 - 8)(m^6 + 8)$.
Каждый из полученных множителей представляет собой разность и сумму кубов соответственно: $m^6 - 8 = (m^2)^3 - 2^3$ и $m^6 + 8 = (m^2)^3 + 2^3$.
Разложим их по соответствующим формулам:
$m^6 - 8 = (m^2 - 2)((m^2)^2 + m^2 \cdot 2 + 2^2) = (m^2 - 2)(m^4 + 2m^2 + 4)$.
$m^6 + 8 = (m^2 + 2)((m^2)^2 - m^2 \cdot 2 + 2^2) = (m^2 + 2)(m^4 - 2m^2 + 4)$.
Итоговое разложение:
Ответ: $(m^2 - 2)(m^2 + 2)(m^4 + 2m^2 + 4)(m^4 - 2m^2 + 4)$

ж) Сначала вынесем за скобки общий множитель $x^6$:
$x^9 - x^6 = x^6(x^3 - 1)$.
Выражение в скобках $x^3-1$ является разностью кубов. Разложим его по формуле $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = x$ и $b = 1$.
$x^6(x^3 - 1^3) = x^6(x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = x^6(x - 1)(x^2 + x + 1)$.
Ответ: $x^6(x - 1)(x^2 + x + 1)$

з) Представим первый член в виде куба: $c^6d^3 = (c^2d)^3$. Теперь выражение является разностью кубов: $(c^2d)^3 - k^3$.
Применим формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = c^2d$ и $b = k$.
$(c^2d - k)((c^2d)^2 + (c^2d)k + k^2) = (c^2d - k)(c^4d^2 + c^2dk + k^2)$.
Ответ: $(c^2d - k)(c^4d^2 + c^2dk + k^2)$