Номер 412, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.6. Разность кубов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 412, страница 113.

Условие.

412. Доказываем. Докажите тождество:

а) $(a + b)(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2) = a^6 - b^6$

б) $(a - 1)(a - 2)(a^2 + a + 1)(a^2 + 2a + 4) = a^6 - 9a^3 + 8.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

a)

Для доказательства тождества $(a + b)(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2) = a^6 - b^6$ преобразуем его левую часть.

Сгруппируем множители для применения формул сокращенного умножения:

$[(a + b)(a^2 - ab + b^2)] \cdot [(a - b)(a^2 + ab + b^2)]$

Первая группа множителей $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$ соответствует формуле суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$ и равна $a^3 + b^3$.

Вторая группа множителей $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$ соответствует формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$ и равна $a^3 - b^3$.

Подставим полученные выражения обратно:

$(a^3 + b^3)(a^3 - b^3)$

Теперь применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$, где $x=a^3$ и $y=b^3$:

$(a^3)^2 - (b^3)^2 = a^6 - b^6$

Левая часть тождества равна правой. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б)

Для доказательства тождества $(a - 1)(a - 2)(a^2 + a + 1)(a^2 + 2a + 4) = a^6 - 9a^3 + 8$ преобразуем его левую часть.

Сгруппируем множители, чтобы использовать формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:

$[(a - 1)(a^2 + a + 1)] \cdot [(a - 2)(a^2 + 2a + 4)]$

Для первой группы множителей, где $x=a$ и $y=1$, получаем $a^3 - 1^3 = a^3 - 1$.

Для второй группы множителей, где $x=a$ и $y=2$, получаем $a^3 - 2^3 = a^3 - 8$.

Теперь перемножим полученные двучлены:

$(a^3 - 1)(a^3 - 8)$

Раскроем скобки:

$a^3 \cdot a^3 + a^3 \cdot (-8) - 1 \cdot a^3 - 1 \cdot (-8) = a^6 - 8a^3 - a^3 + 8$

Приведем подобные слагаемые:

$a^6 - 9a^3 + 8$

Полученное выражение совпадает с правой частью равенства. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.