Номер 417, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.7. Куб суммы. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 417, страница 113.

Условие.

417. а) $(a + b)^3;

б) $(a + 4)^3;

В) $(2a + 1)^3;

Г) $(2a + 3b)^3;

Д) $(x + 3z)^3;

е) $(2b + 3)^3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения всех пунктов используется формула куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

а) $(a + b)^3$

Данное выражение является классической формулой куба суммы, где $x=a$ и $y=b$.

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Ответ: $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

б) $(a + 4)^3$

Применим формулу куба суммы, где $x=a$ и $y=4$.

Подставляем значения в формулу:

$(a + 4)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 4 + 3 \cdot a \cdot 4^2 + 4^3$.

Выполняем вычисления:

$a^3 + 12a^2 + 3 \cdot a \cdot 16 + 64 = a^3 + 12a^2 + 48a + 64$.

Ответ: $a^3 + 12a^2 + 48a + 64$.

в) $(2a + 1)^3$

Используем формулу куба суммы, где $x=2a$ и $y=1$.

Подставляем значения в формулу:

$(2a + 1)^3 = (2a)^3 + 3 \cdot (2a)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (2a) \cdot 1^2 + 1^3$.

Упрощаем выражение:

$8a^3 + 3 \cdot (4a^2) \cdot 1 + 6a \cdot 1 + 1 = 8a^3 + 12a^2 + 6a + 1$.

Ответ: $8a^3 + 12a^2 + 6a + 1$.

г) $(2a + 3b)^3$

Применяем формулу куба суммы, где $x=2a$ и $y=3b$.

Подставляем значения:

$(2a + 3b)^3 = (2a)^3 + 3 \cdot (2a)^2 \cdot (3b) + 3 \cdot (2a) \cdot (3b)^2 + (3b)^3$.

Выполняем вычисления поэтапно:

$8a^3 + 3 \cdot (4a^2) \cdot (3b) + 6a \cdot (9b^2) + 27b^3 = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3$.

Ответ: $8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3$.

д) $(x + 3z)^3$

Используем формулу куба суммы. В данном случае первый член равен $x$, а второй $3z$.

Подставляем в формулу:

$(x + 3z)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot (3z) + 3 \cdot x \cdot (3z)^2 + (3z)^3$.

Упрощаем полученное выражение:

$x^3 + 9x^2z + 3x \cdot (9z^2) + 27z^3 = x^3 + 9x^2z + 27xz^2 + 27z^3$.

Ответ: $x^3 + 9x^2z + 27xz^2 + 27z^3$.

е) $(2b + 3)^3$

Применим формулу куба суммы, где $x=2b$ и $y=3$.

Подставляем значения:

$(2b + 3)^3 = (2b)^3 + 3 \cdot (2b)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2b) \cdot 3^2 + 3^3$.

Выполняем вычисления:

$8b^3 + 3 \cdot (4b^2) \cdot 3 + 6b \cdot 9 + 27 = 8b^3 + 36b^2 + 54b + 27$.

Ответ: $8b^3 + 36b^2 + 54b + 27$.