Номер 414, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.7. Куб суммы. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 414, страница 113.

Условие.

414. Заполните пропуски, применив формулу куба суммы:

а) $(x+y)^3=...$

б) $m^3+3m^2n+3mn^2+n^3=...$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Чтобы заполнить пропуск, необходимо раскрыть скобки, применив формулу куба суммы двух выражений: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
В нашем случае, в выражении $(x+y)^3$, первое слагаемое $a=x$, а второе $b=y$.
Подставляем эти значения в формулу и получаем:
$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
Ответ: $x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

б)

В этом задании нужно выполнить обратное действие: представить многочлен в виде куба суммы. Мы используем ту же формулу, но в обратном порядке: $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3$.
Сравним данное выражение $m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3$ с левой частью формулы. Мы видим, что оно полностью ей соответствует, где $a=m$ и $b=n$:
- куб первого члена — $m^3$;
- утроенное произведение квадрата первого члена на второй — $3m^2n$;
- утроенное произведение первого члена на квадрат второго — $3mn^2$;
- куб второго члена — $n^3$.
Следовательно, данный многочлен можно свернуть в куб суммы $(m+n)$:
$m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3 = (m+n)^3$.
Ответ: $(m+n)^3$