Номер 408, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.6. Разность кубов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 408, страница 112.

Условие.

408. Упростите выражение:

а) $(3p - 10q)(100q^2 + 30pq + 9p^2);$

б) $(7m + 2n)(4n^2 - 14mn + 49m^2);$

в) $(ab - 3)(a^2b^2 + 3ab + 9);$

г) $(km - n^2)(k^2m^2 + kmn^2 + n^4);$

д) $\left(4y^2 - xy + \frac{1}{4}x^2\right)\left(\frac{1}{2}x + 2y\right);$

е) $(1,21q^2 + 0,22pq + 0,04p^2)(0,2p - 1,1q);$

ж) $\left(\frac{1}{9}m^4 + m^2nk + 9n^2k^2\right)\left(\frac{1}{3}m^2 - 3nk\right);$

з) $\left(1\frac{1}{2}a^3 - 0,5b^2\right)\left(2\frac{1}{4}a^6 + \frac{3}{4}a^3b^2 + 0,25b^4\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $(3p - 10q)(100q^2 + 30pq + 9p^2)$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Сначала приведем второй множитель к стандартному виду, поменяв слагаемые местами: $(3p - 10q)(9p^2 + 30pq + 100q^2)$.

В данном выражении $a = 3p$ и $b = 10q$. Проверим, соответствует ли второй множитель части формулы $(a^2 + ab + b^2)$:

$a^2 = (3p)^2 = 9p^2$

$b^2 = (10q)^2 = 100q^2$

$ab = (3p)(10q) = 30pq$

Все члены соответствуют формуле. Следовательно, выражение равно $a^3 - b^3$.

$(3p)^3 - (10q)^3 = 27p^3 - 1000q^3$.

Ответ: $27p^3 - 1000q^3$.

б) $(7m + 2n)(4n^2 - 14mn + 49m^2)$

Для упрощения применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Приведем второй множитель к стандартному виду, поменяв слагаемые местами: $(7m + 2n)(49m^2 - 14mn + 4n^2)$.

В данном выражении $a = 7m$ и $b = 2n$. Проверим, соответствует ли второй множитель части формулы $(a^2 - ab + b^2)$:

$a^2 = (7m)^2 = 49m^2$

$b^2 = (2n)^2 = 4n^2$

$ab = (7m)(2n) = 14mn$

Все члены соответствуют формуле. Следовательно, выражение равно $a^3 + b^3$.

$(7m)^3 + (2n)^3 = 343m^3 + 8n^3$.

Ответ: $343m^3 + 8n^3$.

в) $(ab - 3)(a^2b^2 + 3ab + 9)$

Используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В данном случае $x = ab$ и $y = 3$. Проверим второй множитель:

$x^2 = (ab)^2 = a^2b^2$

$y^2 = 3^2 = 9$

$xy = (ab)(3) = 3ab$

Выражение полностью соответствует формуле разности кубов. Таким образом, оно равно $x^3 - y^3$.

$(ab)^3 - 3^3 = a^3b^3 - 27$.

Ответ: $a^3b^3 - 27$.

г) $(km - n^2)(k^2m^2 + kmn^2 + n^4)$

Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Здесь $a = km$ и $b = n^2$. Проверим соответствие второго множителя:

$a^2 = (km)^2 = k^2m^2$

$b^2 = (n^2)^2 = n^4$

$ab = (km)(n^2) = kmn^2$

Выражение является разностью кубов $a^3 - b^3$.

$(km)^3 - (n^2)^3 = k^3m^3 - n^6$.

Ответ: $k^3m^3 - n^6$.

д) $(4y^2 - xy + \frac{1}{4}x^2)(\frac{1}{2}x + 2y)$

Переставим множители и члены в первом множителе для удобства: $(\frac{1}{2}x + 2y)(\frac{1}{4}x^2 - xy + 4y^2)$.

Это выражение соответствует формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Здесь $a = \frac{1}{2}x$ и $b = 2y$. Проверим соответствие второго множителя:

$a^2 = (\frac{1}{2}x)^2 = \frac{1}{4}x^2$

$b^2 = (2y)^2 = 4y^2$

$ab = (\frac{1}{2}x)(2y) = xy$

Выражение является суммой кубов $a^3 + b^3$.

$(\frac{1}{2}x)^3 + (2y)^3 = \frac{1}{8}x^3 + 8y^3$.

Ответ: $\frac{1}{8}x^3 + 8y^3$.

е) $(1,21q^2 + 0,22pq + 0,04p^2)(0,2p - 1,1q)$

Переставим множители и члены в первом множителе: $(0,2p - 1,1q)(0,04p^2 + 0,22pq + 1,21q^2)$.

Это выражение соответствует формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Здесь $a = 0,2p$ и $b = 1,1q$. Проверим соответствие второго множителя:

$a^2 = (0,2p)^2 = 0,04p^2$

$b^2 = (1,1q)^2 = 1,21q^2$

$ab = (0,2p)(1,1q) = 0,22pq$

Выражение является разностью кубов $a^3 - b^3$.

$(0,2p)^3 - (1,1q)^3 = 0,008p^3 - 1,331q^3$.

Ответ: $0,008p^3 - 1,331q^3$.

ж) $(\frac{1}{9}m^4 + m^2nk + 9n^2k^2)(\frac{1}{3}m^2 - 3nk)$

Переставим множители: $(\frac{1}{3}m^2 - 3nk)(\frac{1}{9}m^4 + m^2nk + 9n^2k^2)$.

Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Здесь $a = \frac{1}{3}m^2$ и $b = 3nk$. Проверим соответствие второго множителя:

$a^2 = (\frac{1}{3}m^2)^2 = \frac{1}{9}m^4$

$b^2 = (3nk)^2 = 9n^2k^2$

$ab = (\frac{1}{3}m^2)(3nk) = m^2nk$

Выражение является разностью кубов $a^3 - b^3$.

$(\frac{1}{3}m^2)^3 - (3nk)^3 = \frac{1}{27}m^6 - 27n^3k^3$.

Ответ: $\frac{1}{27}m^6 - 27n^3k^3$.

з) $(1\frac{1}{2}a^3 - 0,5b^2)(2\frac{1}{4}a^6 + \frac{3}{4}a^3b^2 + 0,25b^4)$

Сначала преобразуем смешанные числа и десятичные дроби в обыкновенные:

$1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$; $0,5 = \frac{1}{2}$; $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$; $0,25 = \frac{1}{4}$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(\frac{3}{2}a^3 - \frac{1}{2}b^2)(\frac{9}{4}a^6 + \frac{3}{4}a^3b^2 + \frac{1}{4}b^4)$

Это выражение соответствует формуле разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Здесь $x = \frac{3}{2}a^3$ и $y = \frac{1}{2}b^2$. Проверим соответствие второго множителя:

$x^2 = (\frac{3}{2}a^3)^2 = \frac{9}{4}a^6$

$y^2 = (\frac{1}{2}b^2)^2 = \frac{1}{4}b^4$

$xy = (\frac{3}{2}a^3)(\frac{1}{2}b^2) = \frac{3}{4}a^3b^2$

Выражение является разностью кубов $x^3 - y^3$.

$(\frac{3}{2}a^3)^3 - (\frac{1}{2}b^2)^3 = \frac{27}{8}a^9 - \frac{1}{8}b^6$.

Ответ: $\frac{27}{8}a^9 - \frac{1}{8}b^6$.