Номер 405, страница 111 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.6. Разность кубов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 405, страница 111.

Условие.

405. Запишите неполный квадрат суммы выражений:

а) $m$ и $4$;

б) $\frac{1}{2}$ и $x^2$;

в) $2a$ и $3b$;

г) $mc$ и $m^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Неполный квадрат суммы двух выражений $a$ и $b$ — это многочлен вида $a^2 + ab + b^2$. Он является одним из множителей в формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Чтобы найти неполный квадрат суммы для каждой пары выражений, нужно возвести в квадрат первое выражение, прибавить произведение первого и второго выражений, и прибавить квадрат второго выражения.

а) Даны выражения $m$ и $4$.

Первое выражение: $a = m$.

Второе выражение: $b = 4$.

Неполный квадрат их суммы равен:

$a^2 + ab + b^2 = m^2 + m \cdot 4 + 4^2 = m^2 + 4m + 16$.

Ответ: $m^2 + 4m + 16$.

б) Даны выражения $\frac{1}{2}$ и $x^2$.

Первое выражение: $a = \frac{1}{2}$.

Второе выражение: $b = x^2$.

Неполный квадрат их суммы равен:

$a^2 + ab + b^2 = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2}) \cdot x^2 + (x^2)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}x^2 + x^4$.

Для стандартного вида запишем многочлен в порядке убывания степеней переменной $x$:

$x^4 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}$.

Ответ: $x^4 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}$.

в) Даны выражения $2a$ и $3b$.

Первое выражение: $A = 2a$.

Второе выражение: $B = 3b$.

Неполный квадрат их суммы равен:

$A^2 + AB + B^2 = (2a)^2 + (2a)(3b) + (3b)^2 = 4a^2 + 6ab + 9b^2$.

Ответ: $4a^2 + 6ab + 9b^2$.

г) Даны выражения $mc$ и $m^3$.

Первое выражение: $a = mc$.

Второе выражение: $b = m^3$.

Неполный квадрат их суммы равен:

$a^2 + ab + b^2 = (mc)^2 + (mc)(m^3) + (m^3)^2 = m^2c^2 + m^4c + m^6$.

Для стандартного вида запишем многочлен в порядке убывания степеней переменной $m$:

$m^6 + m^4c + m^2c^2$.

Ответ: $m^6 + m^4c + m^2c^2$.