Страница 111 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

399. Подберите одночлены А, В и С так, чтобы выполнялось равенство:

а) $m^3 + A = (m + B)(m^2 - mn + n^2)$;

б) $(x + A)(x^2 - 5x + 25) = x^3 + B$;

в) $(2x + 3y)(A - B + C) = 8x^3 + 27y^3$;

г) $(4a + 3b)(A - B + C) = 64a^3 + 27b^3$.

а) В равенстве $m^3 + A = (m + B)(m^2 - mn + n^2)$ правая часть является разложением на множители. Это разложение похоже на формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Сравнивая выражение $(m + B)(m^2 - mn + n^2)$ с формулой, мы можем предположить, что $x=m$. Тогда неполный квадрат разности $(m^2 - mn + n^2)$ соответствует части $(x^2 - xy + y^2)$. Отсюда следует, что $y=n$.

При таких значениях $x$ и $y$ первый множитель $(x+y)$ должен быть равен $(m+n)$. Сравнивая его с $(m+B)$, находим, что одночлен $B$ равен $n$.

Тогда правая часть равенства принимает вид $(m + n)(m^2 - mn + n^2)$, что по формуле суммы кубов равно $m^3 + n^3$.

Исходное равенство становится: $m^3 + A = m^3 + n^3$.

Отсюда следует, что одночлен $A$ равен $n^3$.

Ответ: $A = n^3$, $B = n$.

б) Рассмотрим равенство $(x + A)(x^2 - 5x + 25) = x^3 + B$. Снова воспользуемся формулой суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Сравним множитель $(x^2 - 5x + 25)$ с выражением $(x^2 - xy + y^2)$. Если принять, что первый член $x$ совпадает, то $-xy = -5x$, откуда $y=5$. Проверим последний член: $y^2 = 5^2 = 25$. Совпадение полное.

Значит, первый множитель $(x+A)$ должен быть равен $(x+y)$, то есть $(x+5)$. Отсюда находим, что $A = 5$.

Теперь левая часть равенства представляет собой произведение $(x + 5)(x^2 - 5x + 25)$, которое равно $x^3 + 5^3 = x^3 + 125$.

Исходное равенство принимает вид: $x^3 + 125 = x^3 + B$.

Из этого следует, что $B = 125$.

Ответ: $A = 5$, $B = 125$.

в) В равенстве $(2x + 3y)(A - B + C) = 8x^3 + 27y^3$ правая часть представляет собой сумму кубов.

Представим $8x^3 + 27y^3$ как $(2x)^3 + (3y)^3$.

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 2x$ и $b = 3y$.

$(2x)^3 + (3y)^3 = (2x + 3y)((2x)^2 - (2x)(3y) + (3y)^2) = (2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$.

Теперь исходное равенство можно записать как: $(2x + 3y)(A - B + C) = (2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$.

Так как первые множители $(2x + 3y)$ совпадают, то должны совпадать и вторые множители:

$A - B + C = 4x^2 - 6xy + 9y^2$.

Сопоставляя одночлены, получаем: $A = 4x^2$, $-B = -6xy \Rightarrow B = 6xy$, $C = 9y^2$.

Ответ: $A = 4x^2$, $B = 6xy$, $C = 9y^2$.

г) Рассмотрим равенство $(4a + 3b)(A - B + C) = 64a^3 + 27b^3$. Правая часть является суммой кубов.

Перепишем $64a^3 + 27b^3$ в виде $(4a)^3 + (3b)^3$.

Используем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = 4a$ и $y = 3b$.

$(4a)^3 + (3b)^3 = (4a + 3b)((4a)^2 - (4a)(3b) + (3b)^2) = (4a + 3b)(16a^2 - 12ab + 9b^2)$.

Подставим это в исходное равенство:

$(4a + 3b)(A - B + C) = (4a + 3b)(16a^2 - 12ab + 9b^2)$.

Приравнивая вторые множители, получаем:

$A - B + C = 16a^2 - 12ab + 9b^2$.

Путем сопоставления одночленов находим: $A = 16a^2$, $-B = -12ab \Rightarrow B = 12ab$, $C = 9b^2$.

Ответ: $A = 16a^2$, $B = 12ab$, $C = 9b^2$.

400. Упростите выражение:

а) $(x+1)(x^2-x+1)-(x^2-1)x;$

б) $(a^3-b^3)(a^3+b^3)+(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4);$

в) $(3+m)(m^2-3m+9)-m(m-2)^2;$

г) $(p^6-q^3)(p^6+q^3)-(p^8-p^4q^2+q^4)(p^4+q^2).$

а) Для упрощения выражения $(x + 1)(x^2 - x + 1) - (x^2 - 1)x$ необходимо применить формулы сокращенного умножения и раскрыть скобки.
Первое произведение $(x + 1)(x^2 - x + 1)$ является формулой суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$. В данном случае $a = x$ и $b = 1$, поэтому получаем:
$(x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1$.
Далее раскроем скобки во второй части выражения $-(x^2 - 1)x$:
$-(x^2 \cdot x - 1 \cdot x) = -(x^3 - x) = -x^3 + x$.
Теперь объединим полученные результаты и приведем подобные слагаемые:
$(x^3 + 1) + (-x^3 + x) = x^3 + 1 - x^3 + x = (x^3 - x^3) + x + 1 = x + 1$.
Ответ: $x + 1$.

б) Рассмотрим выражение $(a^3 - b^3)(a^3 + b^3) + (a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$.
Первое произведение $(a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$ упрощается по формуле разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$. Здесь $x=a^3$ и $y=b^3$, следовательно:
$(a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a^3)^2 - (b^3)^2 = a^6 - b^6$.
Второе произведение $(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$ является формулой суммы кубов: $(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$. Здесь $x=a^2$ и $y=b^2$, следовательно:
$(a^2 + b^2)((a^2)^2 - a^2b^2 + (b^2)^2) = (a^2)^3 + (b^2)^3 = a^6 + b^6$.
Сложим полученные выражения:
$(a^6 - b^6) + (a^6 + b^6) = a^6 - b^6 + a^6 + b^6 = (a^6 + a^6) + (-b^6 + b^6) = 2a^6$.
Ответ: $2a^6$.

в) Упростим выражение $(3 + m)(m^2 - 3m + 9) - m(m - 2)^2$.
Первая часть $(3 + m)(m^2 - 3m + 9)$ представляет собой формулу суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$, где $a=m$ и $b=3$. Получаем:
$(m + 3)(m^2 - m \cdot 3 + 3^2) = m^3 + 3^3 = m^3 + 27$.
Во второй части $-m(m - 2)^2$ сначала раскроем квадрат разности по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(m - 2)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 2 + 2^2 = m^2 - 4m + 4$.
Затем результат умножим на $-m$:
$-m(m^2 - 4m + 4) = -m^3 + 4m^2 - 4m$.
Объединим обе части и приведем подобные слагаемые:
$(m^3 + 27) + (-m^3 + 4m^2 - 4m) = m^3 + 27 - m^3 + 4m^2 - 4m = (m^3 - m^3) + 4m^2 - 4m + 27 = 4m^2 - 4m + 27$.
Ответ: $4m^2 - 4m + 27$.

г) Упростим выражение $(p^6 - q^3)(p^6 + q^3) - (p^8 - p^4q^2 + q^4)(p^4 + q^2)$.
Первое произведение $(p^6 - q^3)(p^6 + q^3)$ является разностью квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=p^6$, $y=q^3$. Получаем:
$(p^6)^2 - (q^3)^2 = p^{12} - q^6$.
Вторая часть выражения $-(p^8 - p^4q^2 + q^4)(p^4 + q^2)$ со знаком минус является формулой суммы кубов. Перепишем для наглядности: $-(p^4 + q^2)(p^8 - p^4q^2 + q^4)$. По формуле $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=p^4$, $b=q^2$, имеем:
$-( (p^4)^3 + (q^2)^3 ) = -(p^{12} + q^6) = -p^{12} - q^6$.
Сложим полученные результаты:
$(p^{12} - q^6) + (-p^{12} - q^6) = p^{12} - q^6 - p^{12} - q^6 = (p^{12} - p^{12}) + (-q^6 - q^6) = -2q^6$.
Ответ: $-2q^6$.

401. Доказываем. Докажите тождество:

а) $(a^3 + 1)(a - 1) = (a^2 - a + 1)(a^2 - 1);$

б) $m^3 + 1 = m(m + 1) + (1 - m)(1 - m^2);$

в) $(a + 2)(a^2 - 2a + 4) - a(a - 3)(3 + a) = 9a + 8;$

г) $m(m + n)(m - n) - (n + m)(m^2 - mn + n^2) = -n^2(m + n).$

а) Докажем тождество $(a^3 + 1)(a - 1) = (a^2 - a + 1)(a^2 - 1)$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулы сокращенного умножения.

Левая часть: $(a^3 + 1)(a - 1)$.

Сначала применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ к выражению $a^3 + 1$, где $x=a$ и $y=1$:

$a^3 + 1^3 = (a + 1)(a^2 - a \cdot 1 + 1^2) = (a + 1)(a^2 - a + 1)$.

Подставим это в левую часть исходного равенства:

$(a + 1)(a^2 - a + 1)(a - 1)$.

Теперь сгруппируем множители следующим образом: $(a^2 - a + 1)((a + 1)(a - 1))$.

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ к выражению $(a + 1)(a - 1)$:

$(a + 1)(a - 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$.

В результате преобразования левая часть принимает вид: $(a^2 - a + 1)(a^2 - 1)$.

Мы получили выражение, в точности совпадающее с правой частью тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: После преобразования левая часть $(a^3 + 1)(a - 1)$ приводится к виду $(a^2 - a + 1)(a^2 - 1)$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

б) Докажем тождество $m^3 + 1 = m(m + 1) + (1 - m)(1 - m^2)$.

Для доказательства упростим правую часть равенства и покажем, что она равна левой части.

Правая часть: $m(m + 1) + (1 - m)(1 - m^2)$.

Раскроем скобки в каждом слагаемом:

$m(m + 1) = m^2 + m$.

$(1 - m)(1 - m^2) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-m^2) - m \cdot 1 - m \cdot (-m^2) = 1 - m^2 - m + m^3$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(m^2 + m) + (1 - m^2 - m + m^3) = m^2 + m + 1 - m^2 - m + m^3$.

Приведем подобные члены, сгруппировав их:

$(m^2 - m^2) + (m - m) + 1 + m^3 = 0 + 0 + 1 + m^3 = m^3 + 1$.

Результат упрощения правой части, $m^3 + 1$, совпадает с левой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: После упрощения правая часть $m(m + 1) + (1 - m)(1 - m^2)$ приводится к виду $m^3 + 1$, что совпадает с левой частью. Тождество доказано.

в) Докажем тождество $(a + 2)(a^2 - 2a + 4) - a(a - 3)(3 + a) = 9a + 8$.

Для доказательства упростим левую часть равенства.

Левая часть: $(a + 2)(a^2 - 2a + 4) - a(a - 3)(3 + a)$.

Первый член $(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$ представляет собой формулу суммы кубов $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$, где $x=a$ и $y=2$.

$(a + 2)(a^2 - 2a + 4) = a^3 + 2^3 = a^3 + 8$.

Второй член $-a(a - 3)(3 + a)$. Заметим, что $(a - 3)(3 + a) = (a - 3)(a + 3)$, что является формулой разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=a$ и $y=3$.

$(a - 3)(a + 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$.

Тогда второй член равен: $-a(a^2 - 9) = -a^3 + 9a$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в левую часть:

$(a^3 + 8) + (-a^3 + 9a) = a^3 + 8 - a^3 + 9a$.

Приведем подобные члены:

$(a^3 - a^3) + 9a + 8 = 9a + 8$.

Полученное выражение совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: После упрощения левая часть $(a + 2)(a^2 - 2a + 4) - a(a - 3)(3 + a)$ приводится к виду $9a + 8$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

г) Докажем тождество $m(m + n)(m - n) - (n + m)(m^2 - mn + n^2) = -n^2(m + n)$.

Для доказательства упростим левую часть равенства.

Левая часть: $m(m + n)(m - n) - (n + m)(m^2 - mn + n^2)$.

Упростим первый член $m(m + n)(m - n)$. Используя формулу разности квадратов для $(m + n)(m - n)$, получаем:

$m(m^2 - n^2) = m^3 - mn^2$.

Упростим второй член $-(n + m)(m^2 - mn + n^2)$. Выражение $(m + n)(m^2 - mn + n^2)$ является формулой суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, где $x=m$ и $y=n$.

$(m + n)(m^2 - mn + n^2) = m^3 + n^3$.

Тогда второй член равен: $-(m^3 + n^3) = -m^3 - n^3$.

Подставим упрощенные выражения в левую часть:

$(m^3 - mn^2) - (m^3 + n^3) = m^3 - mn^2 - m^3 - n^3$.

Приведем подобные члены:

$(m^3 - m^3) - mn^2 - n^3 = -mn^2 - n^3$.

Вынесем общий множитель $-n^2$ за скобки:

$-n^2(m + n)$.

Полученное выражение совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: После упрощения левая часть $m(m + n)(m - n) - (n + m)(m^2 - mn + n^2)$ приводится к виду $-n^2(m + n)$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

402. а) Запишите неполный квадрат суммы $a$ и $b$.

б) Запишите и прочитайте формулу разности кубов.

а)

Неполным квадратом суммы двух выражений a и b называется многочлен $a^2 + ab + b^2$. Он отличается от полного квадрата суммы, формула которого $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, отсутствием коэффициента 2 перед произведением ab. Неполный квадрат суммы является вторым множителем в формуле разложения разности кубов.

Ответ: $a^2 + ab + b^2$

б)

Формула разности кубов — это одна из формул сокращенного умножения, которая используется для разложения на множители разности кубов двух выражений.

Формула записывается так: $$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$

Читается эта формула следующим образом: «Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы».

Ответ: Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. Читается: разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

403. Заполните пропуски, применив формулу разности кубов:

a) $(x - y) \cdot (x^2 + xy + y^2) = ...;$

б) $m^3 - n^3 = ...$

Для решения этой задачи используется формула разности кубов. Формула разности кубов двух выражений $a$ и $b$ выглядит так:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Произведение разности двух выражений и их неполного квадрата суммы равно разности кубов этих выражений.

а) Требуется заполнить пропуск в выражении $(x - y) \cdot (x^2 + xy + y^2) = \dots$

Данное выражение полностью соответствует правой части формулы разности кубов, где $a=x$ и $b=y$.

Следовательно, мы можем "свернуть" это выражение в левую часть формулы, подставив вместо $a$ и $b$ переменные $x$ и $y$ соответственно.

Получаем:

$(x - y) \cdot (x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$

Ответ: $x^3 - y^3$

б) Требуется заполнить пропуск в выражении $m^3 - n^3 = \dots$

Это выражение является левой частью формулы разности кубов. Нам нужно "развернуть" его, то есть разложить на множители согласно правой части формулы.

Здесь $a=m$ и $b=n$. Подставляем эти значения в правую часть формулы $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + m \cdot n + n^2)$

Ответ: $(m - n)(m^2 + mn + n^2)$

404. Составьте разность кубов выражений:

а) 5 и $x$;

б) $ab$ и $a$;

в) $a^2$ и $3b$;

г) $2x^3$ и $4y$.

а) Чтобы составить разность кубов выражений 5 и x, необходимо каждое из этих выражений возвести в куб (третью степень), а затем вычесть второе из первого.

Куб первого выражения: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Куб второго выражения: $x^3$.

Разность кубов будет выглядеть так: $5^3 - x^3$.

Подставим вычисленное значение: $125 - x^3$.

Ответ: $125 - x^3$

б) Для выражений ab и a составим разность их кубов.

Куб первого выражения: $(ab)^3$. По свойству степени произведения, $(xy)^n = x^ny^n$, получаем $(ab)^3 = a^3b^3$.

Куб второго выражения: $a^3$.

Разность кубов: $(ab)^3 - a^3 = a^3b^3 - a^3$.

Ответ: $a^3b^3 - a^3$

в) Составим разность кубов для выражений $a^2$ и $3b$.

Куб первого выражения: $(a^2)^3$. По свойству возведения степени в степень, $(x^m)^n = x^{mn}$, получаем $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$.

Куб второго выражения: $(3b)^3$. Возводим в куб каждый множитель: $3^3 \cdot b^3 = 27b^3$.

Разность кубов: $(a^2)^3 - (3b)^3 = a^6 - 27b^3$.

Ответ: $a^6 - 27b^3$

г) Составим разность кубов для выражений $2x^3$ и $4y$.

Куб первого выражения: $(2x^3)^3$. Возводим в куб каждый множитель: $2^3 \cdot (x^3)^3 = 8 \cdot x^{3 \cdot 3} = 8x^9$.

Куб второго выражения: $(4y)^3$. Возводим в куб каждый множитель: $4^3 \cdot y^3 = 64y^3$.

Разность кубов: $(2x^3)^3 - (4y)^3 = 8x^9 - 64y^3$.

Ответ: $8x^9 - 64y^3$

405. Запишите неполный квадрат суммы выражений:

а) $m$ и $4$;

б) $\frac{1}{2}$ и $x^2$;

в) $2a$ и $3b$;

г) $mc$ и $m^3$.

Неполный квадрат суммы двух выражений $a$ и $b$ — это многочлен вида $a^2 + ab + b^2$. Он является одним из множителей в формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Чтобы найти неполный квадрат суммы для каждой пары выражений, нужно возвести в квадрат первое выражение, прибавить произведение первого и второго выражений, и прибавить квадрат второго выражения.

а) Даны выражения $m$ и $4$.

Первое выражение: $a = m$.

Второе выражение: $b = 4$.

Неполный квадрат их суммы равен:

$a^2 + ab + b^2 = m^2 + m \cdot 4 + 4^2 = m^2 + 4m + 16$.

Ответ: $m^2 + 4m + 16$.

б) Даны выражения $\frac{1}{2}$ и $x^2$.

Первое выражение: $a = \frac{1}{2}$.

Второе выражение: $b = x^2$.

Неполный квадрат их суммы равен:

$a^2 + ab + b^2 = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2}) \cdot x^2 + (x^2)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}x^2 + x^4$.

Для стандартного вида запишем многочлен в порядке убывания степеней переменной $x$:

$x^4 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}$.

Ответ: $x^4 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}$.

в) Даны выражения $2a$ и $3b$.

Первое выражение: $A = 2a$.

Второе выражение: $B = 3b$.

Неполный квадрат их суммы равен:

$A^2 + AB + B^2 = (2a)^2 + (2a)(3b) + (3b)^2 = 4a^2 + 6ab + 9b^2$.

Ответ: $4a^2 + 6ab + 9b^2$.

г) Даны выражения $mc$ и $m^3$.

Первое выражение: $a = mc$.

Второе выражение: $b = m^3$.

Неполный квадрат их суммы равен:

$a^2 + ab + b^2 = (mc)^2 + (mc)(m^3) + (m^3)^2 = m^2c^2 + m^4c + m^6$.

Для стандартного вида запишем многочлен в порядке убывания степеней переменной $m$:

$m^6 + m^4c + m^2c^2$.

Ответ: $m^6 + m^4c + m^2c^2$.