Страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

385. Упростите выражение:

а) $a(a - b) + b(a + b) + (a - b)(a + b);$

б) $(m - n)(n + m) - (m - n)^2 + 2n^2;$

в) $(c - d)^2 - (c + d)(d - c) + 2cd;$

г) $(2a + 5b)(5a - 2b) - 3(a + 2b)(a - 2b);$

д) $(p + 6)^2 - 4(3 - p)(3 + p);$

е) $-(2 + m)^2 + 2(1 + m)^2 - 2(1 - m)(m + 1);$

ж) $(x + y)^2 - (x - y)^2;$

з) $(m - n)^2 - (m + n)^2.$

а) $a(a - b) + b(a + b) + (a - b)(a + b)$

Раскроем скобки в каждом слагаемом. Для последнего слагаемого используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

$a(a - b) = a^2 - ab$

$b(a + b) = ab + b^2$

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Теперь сложим полученные выражения:

$(a^2 - ab) + (ab + b^2) + (a^2 - b^2) = a^2 - ab + ab + b^2 - b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 + a^2) + (-ab + ab) + (b^2 - b^2) = 2a^2 + 0 + 0 = 2a^2$

Ответ: $2a^2$.

б) $(m - n)(n + m) - (m - n)^2 + 2n^2$

Для первого слагаемого используем формулу разности квадратов $(m-n)(m+n) = m^2 - n^2$. Для второго слагаемого используем формулу квадрата разности $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.

$(m^2 - n^2) - (m^2 - 2mn + n^2) + 2n^2$

Раскроем скобки, меняя знаки во втором выражении на противоположные:

$m^2 - n^2 - m^2 + 2mn - n^2 + 2n^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(m^2 - m^2) + 2mn + (-n^2 - n^2 + 2n^2) = 0 + 2mn + 0 = 2mn$

Ответ: $2mn$.

в) $(c - d)^2 - (c + d)(d - c) + 2cd$

Раскроем квадрат разности: $(c - d)^2 = c^2 - 2cd + d^2$.

Преобразуем второе слагаемое: $(c + d)(d - c) = (c + d)(-(c - d)) = -(c + d)(c - d) = -(c^2 - d^2) = -c^2 + d^2$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(c^2 - 2cd + d^2) - (-c^2 + d^2) + 2cd$

Раскроем скобки:

$c^2 - 2cd + d^2 + c^2 - d^2 + 2cd$

Приведем подобные слагаемые:

$(c^2 + c^2) + (-2cd + 2cd) + (d^2 - d^2) = 2c^2 + 0 + 0 = 2c^2$

Ответ: $2c^2$.

г) $(2a + 5b)(5a - 2b) - 3(a + 2b)(a - 2b)$

Раскроем первые скобки, перемножив многочлены:

$(2a + 5b)(5a - 2b) = 2a \cdot 5a + 2a \cdot (-2b) + 5b \cdot 5a + 5b \cdot (-2b) = 10a^2 - 4ab + 25ab - 10b^2 = 10a^2 + 21ab - 10b^2$

Во втором слагаемом используем формулу разности квадратов:

$3(a + 2b)(a - 2b) = 3(a^2 - (2b)^2) = 3(a^2 - 4b^2) = 3a^2 - 12b^2$

Подставим в исходное выражение:

$(10a^2 + 21ab - 10b^2) - (3a^2 - 12b^2) = 10a^2 + 21ab - 10b^2 - 3a^2 + 12b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(10a^2 - 3a^2) + 21ab + (-10b^2 + 12b^2) = 7a^2 + 21ab + 2b^2$

Ответ: $7a^2 + 21ab + 2b^2$.

д) $(p + 6)^2 - 4(3 - p)(3 + p)$

Раскроем квадрат суммы: $(p + 6)^2 = p^2 + 2 \cdot p \cdot 6 + 6^2 = p^2 + 12p + 36$.

Во втором слагаемом используем формулу разности квадратов:

$4(3 - p)(3 + p) = 4(3^2 - p^2) = 4(9 - p^2) = 36 - 4p^2$

Подставим в исходное выражение:

$(p^2 + 12p + 36) - (36 - 4p^2) = p^2 + 12p + 36 - 36 + 4p^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(p^2 + 4p^2) + 12p + (36 - 36) = 5p^2 + 12p$

Ответ: $5p^2 + 12p$.

е) $-(2 + m)^2 + 2(1 + m)^2 - 2(1 - m)(m + 1)$

Раскроем скобки в каждом слагаемом, используя формулы сокращенного умножения:

$-(2 + m)^2 = -(4 + 4m + m^2) = -4 - 4m - m^2$

$2(1 + m)^2 = 2(1 + 2m + m^2) = 2 + 4m + 2m^2$

$-2(1 - m)(m + 1) = -2(1 - m)(1 + m) = -2(1^2 - m^2) = -2(1 - m^2) = -2 + 2m^2$

Сложим полученные выражения:

$(-4 - 4m - m^2) + (2 + 4m + 2m^2) + (-2 + 2m^2) = -4 - 4m - m^2 + 2 + 4m + 2m^2 - 2 + 2m^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(-m^2 + 2m^2 + 2m^2) + (-4m + 4m) + (-4 + 2 - 2) = 3m^2 + 0 - 4 = 3m^2 - 4$

Ответ: $3m^2 - 4$.

ж) $(x + y)^2 - (x - y)^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x+y$ и $b = x-y$.

$((x+y) - (x-y)) \cdot ((x+y) + (x-y))$

Раскроем внутренние скобки:

$(x+y-x+y) \cdot (x+y+x-y)$

Упростим выражения в скобках:

$(2y) \cdot (2x) = 4xy$

Альтернативный способ:

Раскроем каждый квадрат по формуле:

$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 = 4xy$

Ответ: $4xy$.

з) $(m - n)^2 - (m + n)^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = m-n$ и $b = m+n$.

$((m-n) - (m+n)) \cdot ((m-n) + (m+n))$

Раскроем внутренние скобки:

$(m-n-m-n) \cdot (m-n+m+n)$

Упростим выражения в скобках:

$(-2n) \cdot (2m) = -4mn$

Альтернативный способ:

Раскроем каждый квадрат по формуле:

$(m^2 - 2mn + n^2) - (m^2 + 2mn + n^2) = m^2 - 2mn + n^2 - m^2 - 2mn - n^2 = -4mn$

Ответ: $-4mn$.

386. Доказываем. Докажите тождество:

а) $(a-b)^2 + (a-b)(b+a) = 2a(a-b)$

б) $2(x+5)^2 - 2(5-x)(5+x) = 4x(x+5)$

в) $2(c-3)^2 - 4(1-c)(c+1) = 6(c-1)^2 + 8$

г) $3(m-4)(4+m) - 3(2-m)^2 = 12(m-5)$

а) Чтобы доказать тождество $(a - b)^2 + (a - b)(b + a) = 2a(a - b)$, преобразуем его левую часть. Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:
$(a - b)^2 + (a - b)(b + a) = (a - b) \cdot ((a - b) + (b + a))$
Упростим выражение во второй скобке:
$(a - b) \cdot (a - b + b + a) = (a - b) \cdot (2a)$
Переставив множители, получаем:
$2a(a - b)$
В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой части: $2a(a - b) = 2a(a - b)$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $2(x + 5)^2 - 2(5 - x)(5 + x) = 4x(x + 5)$, преобразуем его левую часть. Сначала вынесем за скобки общий множитель 2:
$2 \cdot ((x + 5)^2 - (5 - x)(5 + x))$
Теперь в выражении внутри скобок вынесем общий множитель $(x+5)$:
$2 \cdot (x + 5) \cdot ((x + 5) - (5 - x))$
Упростим выражение в последних скобках:
$2(x + 5)(x + 5 - 5 + x) = 2(x + 5)(2x)$
Перемножив множители, получаем:
$4x(x + 5)$
Левая часть тождества равна правой: $4x(x + 5) = 4x(x + 5)$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

в) Чтобы доказать тождество $2(c - 3)^2 - 4(1 - c)(c + 1) = 6(c - 1)^2 + 8$, преобразуем отдельно левую и правую части.
Преобразуем левую часть (ЛЧ):
ЛЧ = $2(c - 3)^2 - 4(1 - c)(c + 1) = 2(c^2 - 6c + 9) - 4(1 - c^2) = 2c^2 - 12c + 18 - 4 + 4c^2 = 6c^2 - 12c + 14$
Преобразуем правую часть (ПЧ):
ПЧ = $6(c - 1)^2 + 8 = 6(c^2 - 2c + 1) + 8 = 6c^2 - 12c + 6 + 8 = 6c^2 - 12c + 14$
Так как в результате преобразований левая и правая части стали равны ($6c^2 - 12c + 14 = 6c^2 - 12c + 14$), тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

г) Чтобы доказать тождество $3(m - 4)(4 + m) - 3(2 - m)^2 = 12(m - 5)$, преобразуем отдельно левую и правую части.
Преобразуем левую часть (ЛЧ), используя формулу разности квадратов и квадрата разности:
ЛЧ = $3(m^2 - 16) - 3(4 - 4m + m^2) = 3m^2 - 48 - 12 + 12m - 3m^2 = 12m - 60$
Преобразуем правую часть (ПЧ), раскрыв скобки:
ПЧ = $12(m - 5) = 12m - 60$
Так как левая и правая части равны ($12m - 60 = 12m - 60$), тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

387. Старинная задача.

Я купил столько коробок с мылом, сколько было кусков в коробке. Сестра купила на 3 коробки меньше, чем я, но в каждой было на 3 куска больше, чем в купленных мной. У кого больше кусков и на сколько?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество коробок с мылом, которое я купил. Согласно условию, в каждой из моих коробок было столько же кусков мыла, сколько я купил коробок, то есть тоже $x$ кусков.

Тогда общее количество кусков мыла, которое я купил, можно вычислить как произведение количества коробок на количество кусков в одной коробке:

Мои куски мыла = $x \times x = x^2$.

Теперь рассмотрим покупку сестры. В условии сказано, что она купила на 3 коробки меньше, чем я. Следовательно, количество коробок у сестры:

Коробки сестры = $x - 3$.

Также в условии говорится, что в каждой коробке сестры было на 3 куска мыла больше, чем в моих. Следовательно, количество кусков в каждой коробке сестры:

Кусков в коробке сестры = $x + 3$.

Общее количество кусков мыла, которое купила сестра, равно произведению количества ее коробок на количество кусков в одной ее коробке:

Куски мыла сестры = $(x - 3) \times (x + 3)$.

Чтобы упростить это выражение, воспользуемся алгебраической формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=3$.

Куски мыла сестры = $x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.

Теперь сравним количество кусков мыла у меня и у сестры:

У меня: $x^2$ кусков.

У сестры: $x^2 - 9$ кусков.

Очевидно, что $x^2$ больше, чем $x^2 - 9$. Значит, у меня больше кусков мыла. Чтобы найти, на сколько именно больше, вычтем количество кусков сестры из моего количества:

Разница = (Мои куски) - (Куски сестры) = $x^2 - (x^2 - 9) = x^2 - x^2 + 9 = 9$.

Таким образом, у меня на 9 кусков мыла больше, чем у сестры. Этот результат не зависит от исходного количества коробок $x$ (при условии, что $x > 3$, чтобы количество коробок сестры было положительным).

Ответ: У меня (у рассказчика) больше кусков мыла на 9 штук.

Разложите на множители выражение (388–389):

388. а) $(3x+2)^2 - x^2$;

б) $(2x-5)^2 - x^2$;

В) $(4x+3)^2 - (x+1)^2$;

Г) $(5x-2)^2 - (x-1)^2$.

Для разложения на множители выражений из данного задания используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

а)

В выражении $(3x+2)^2 - x^2$ примем $a = 3x+2$ и $b = x$.

Применим формулу разности квадратов:

$(3x+2)^2 - x^2 = ((3x+2) - x)((3x+2) + x)$

Теперь упростим выражения в каждой из скобок:

$(3x+2 - x)(3x+2 + x) = (2x+2)(4x+2)$

В каждой скобке можно вынести за скобки общий множитель 2:

$2(x+1) \cdot 2(2x+1) = 4(x+1)(2x+1)$

Ответ: $4(x+1)(2x+1)$

б)

В выражении $(2x-5)^2 - x^2$ примем $a = 2x-5$ и $b = x$.

Подставим в формулу разности квадратов:

$(2x-5)^2 - x^2 = ((2x-5) - x)((2x-5) + x)$

Упростим выражения в скобках:

$(2x - 5 - x)(2x - 5 + x) = (x-5)(3x-5)$

Ответ: $(x-5)(3x-5)$

в)

В выражении $(4x+3)^2 - (x+1)^2$ примем $a = 4x+3$ и $b = x+1$.

Используем формулу разности квадратов:

$(4x+3)^2 - (x+1)^2 = ((4x+3) - (x+1))((4x+3) + (x+1))$

Упростим выражения, раскрыв внутренние скобки. Важно не забыть поменять знаки при раскрытии скобок с минусом перед ними:

$(4x+3 - x - 1)(4x+3 + x + 1) = (3x+2)(5x+4)$

Ответ: $(3x+2)(5x+4)$

г)

В выражении $(5x-2)^2 - (x-1)^2$ примем $a = 5x-2$ и $b = x-1$.

Применим формулу разности квадратов:

$(5x-2)^2 - (x-1)^2 = ((5x-2) - (x-1))((5x-2) + (x-1))$

Упростим выражения в скобках, внимательно раскрывая внутренние скобки:

$(5x - 2 - x + 1)(5x - 2 + x - 1) = (4x-1)(6x-3)$

Во второй скобке можно вынести общий множитель 3:

$(4x-1) \cdot 3(2x-1) = 3(4x-1)(2x-1)$

Ответ: $3(4x-1)(2x-1)$

389. a) $(3x + y)^2 - (2x - 3y)^2$;

б) $(4x + 3y)^2 - (3x - 4y)^2;

В) $(5x - 2y)^2 - (2x - y)^2;

Г) $(2x - 4y)^2 - (5x + y)^2;

Д) $(2x^2 - y)^2 - x^4;

е) $(x^2 - 2y)^2 - y^4;

Ж) $(3x^2 - 2y)^2 - 4x^4;

з) $(4x^2 + 3y)^2 - 9y^4.

а) $(3x + y)^2 - (2x - 3y)^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 3x + y$ и $b = 2x - 3y$.

$((3x + y) - (2x - 3y))((3x + y) + (2x - 3y)) = (3x + y - 2x + 3y)(3x + y + 2x - 3y)$

Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:

$(x + 4y)(5x - 2y)$

Теперь раскроем скобки, перемножив многочлены:

$x \cdot 5x + x \cdot (-2y) + 4y \cdot 5x + 4y \cdot (-2y) = 5x^2 - 2xy + 20xy - 8y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$5x^2 + 18xy - 8y^2$

Ответ: $5x^2 + 18xy - 8y^2$.

б) $(4x + 3y)^2 - (3x - 4y)^2$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 4x + 3y$ и $b = 3x - 4y$.

$((4x + 3y) - (3x - 4y))((4x + 3y) + (3x - 4y)) = (4x + 3y - 3x + 4y)(4x + 3y + 3x - 4y)$

Упростим выражения в скобках:

$(x + 7y)(7x - y)$

Раскроем скобки:

$x \cdot 7x + x \cdot (-y) + 7y \cdot 7x + 7y \cdot (-y) = 7x^2 - xy + 49xy - 7y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$7x^2 + 48xy - 7y^2$

Ответ: $7x^2 + 48xy - 7y^2$.

в) $(5x - 2y)^2 - (2x - y)^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 5x - 2y$ и $b = 2x - y$.

$((5x - 2y) - (2x - y))((5x - 2y) + (2x - y)) = (5x - 2y - 2x + y)(5x - 2y + 2x - y)$

Упростим выражения в скобках:

$(3x - y)(7x - 3y)$

Раскроем скобки:

$3x \cdot 7x + 3x \cdot (-3y) - y \cdot 7x - y \cdot (-3y) = 21x^2 - 9xy - 7xy + 3y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$21x^2 - 16xy + 3y^2$

Ответ: $21x^2 - 16xy + 3y^2$.

г) $(2x - 4y)^2 - (5x + y)^2$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2x - 4y$ и $b = 5x + y$.

$((2x - 4y) - (5x + y))((2x - 4y) + (5x + y)) = (2x - 4y - 5x - y)(2x - 4y + 5x + y)$

Упростим выражения в скобках:

$(-3x - 5y)(7x - 3y)$

Раскроем скобки:

$(-3x) \cdot 7x + (-3x) \cdot (-3y) - 5y \cdot 7x - 5y \cdot (-3y) = -21x^2 + 9xy - 35xy + 15y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$-21x^2 - 26xy + 15y^2$

Ответ: $-21x^2 - 26xy + 15y^2$.

д) $(2x^2 - y)^2 - x^4$

Представим $x^4$ как $(x^2)^2$. Выражение примет вид $(2x^2 - y)^2 - (x^2)^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2x^2 - y$ и $b = x^2$.

$((2x^2 - y) - x^2)((2x^2 - y) + x^2) = (2x^2 - y - x^2)(2x^2 - y + x^2)$

Упростим выражения в скобках:

$(x^2 - y)(3x^2 - y)$

Раскроем скобки:

$x^2 \cdot 3x^2 + x^2 \cdot (-y) - y \cdot 3x^2 - y \cdot (-y) = 3x^4 - x^2y - 3x^2y + y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^4 - 4x^2y + y^2$

Ответ: $3x^4 - 4x^2y + y^2$.

е) $(x^2 - 2y)^2 - y^4$

Для упрощения этого выражения сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x^2 - 2y)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 2y + (2y)^2 = x^4 - 4x^2y + 4y^2$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(x^4 - 4x^2y + 4y^2) - y^4 = x^4 - 4x^2y + 4y^2 - y^4$

В получившемся многочлене нет подобных слагаемых, поэтому это и есть окончательный вид.

Ответ: $x^4 - 4x^2y + 4y^2 - y^4$.

ж) $(3x^2 - 2y)^2 - 4x^4$

Представим $4x^4$ как $(2x^2)^2$. Выражение примет вид $(3x^2 - 2y)^2 - (2x^2)^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 3x^2 - 2y$ и $b = 2x^2$.

$((3x^2 - 2y) - 2x^2)((3x^2 - 2y) + 2x^2) = (3x^2 - 2y - 2x^2)(3x^2 - 2y + 2x^2)$

Упростим выражения в скобках:

$(x^2 - 2y)(5x^2 - 2y)$

Раскроем скобки:

$x^2 \cdot 5x^2 + x^2 \cdot (-2y) - 2y \cdot 5x^2 - 2y \cdot (-2y) = 5x^4 - 2x^2y - 10x^2y + 4y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$5x^4 - 12x^2y + 4y^2$

Ответ: $5x^4 - 12x^2y + 4y^2$.

з) $(4x^2 + 3y)^2 - 9y^4$

Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(4x^2 + 3y)^2 = (4x^2)^2 + 2 \cdot 4x^2 \cdot 3y + (3y)^2 = 16x^4 + 24x^2y + 9y^2$

Подставим результат в исходное выражение:

$(16x^4 + 24x^2y + 9y^2) - 9y^4 = 16x^4 + 24x^2y + 9y^2 - 9y^4$

В получившемся многочлене нет подобных слагаемых.

Ответ: $16x^4 + 24x^2y + 9y^2 - 9y^4$.