Страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

351. Запишите и прочитайте формулу квадрата разности.

Вопрос касается одной из формул сокращённого умножения — формулы квадрата разности. Необходимо записать её математически и сформулировать правило её чтения. Ниже представлен развернутый ответ с доказательством.

Запись формулы

Формула квадрата разности для двух произвольных выражений a и b записывается в следующем виде:
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Чтение формулы

Словесная формулировка данного математического тождества звучит так:
«Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения».

Доказательство формулы

Для доказательства этой формулы достаточно раскрыть скобки в левой части выражения, используя определение степени и правило умножения многочленов.

1. Представим квадрат выражения как произведение этого выражения на само себя:
$(a - b)^2 = (a - b)(a - b)$

2. Раскроем скобки, последовательно умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$(a - b)(a - b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a + (-b) \cdot (-b) = a^2 - ab - ba + b^2$

3. Приведем подобные слагаемые. Учитывая, что $ab = ba$ (переместительное свойство умножения), получаем:
$a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

4. Таким образом, мы приходим к тождеству:
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Формула доказана.

Ответ: Формула квадрата разности записывается как $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и читается: «Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения».

352. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида двумя способами:

а) $(a-b)^2$;б) $(x-3)^2$;в) $(1-m)^2$;г) $(5+p)^2$;

д) $(2a-3)^2$;е) $(4-3y)^2$;ж) $(3m+2n)^2$;з) $(5p-2q)^2$.

а) $(a - b)^2$

Способ 1: Умножение многочленов

По определению степени, квадрат выражения равен произведению этого выражения на самого себя. Раскроем скобки:

$(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a \cdot a - a \cdot b - b \cdot a + b \cdot b = a^2 - ab - ab + b^2$

Приводим подобные слагаемые:

$a^2 - 2ab + b^2$

Способ 2: Формула квадрата разности

Используем формулу сокращенного умножения для квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x = a$ и $y = b$:

$(a - b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Ответ: $a^2 - 2ab + b^2$

б) $(x - 3)^2$

Способ 1: Умножение многочленов

$(x - 3)^2 = (x - 3)(x - 3) = x \cdot x - x \cdot 3 - 3 \cdot x + (-3) \cdot (-3) = x^2 - 3x - 3x + 9$

Приводим подобные слагаемые:

$x^2 - 6x + 9$

Способ 2: Формула квадрата разности

Используем формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = x$ и $b = 3$:

$(x - 3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$

Ответ: $x^2 - 6x + 9$

в) $(1 - m)^2$

Способ 1: Умножение многочленов

$(1 - m)^2 = (1 - m)(1 - m) = 1 \cdot 1 - 1 \cdot m - m \cdot 1 + m \cdot m = 1 - m - m + m^2$

Приводим подобные слагаемые и записываем в стандартном виде:

$m^2 - 2m + 1$

Способ 2: Формула квадрата разности

Используем формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = 1$ и $b = m$:

$(1 - m)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot m + m^2 = 1 - 2m + m^2$

Записываем в стандартном виде:

$m^2 - 2m + 1$

Ответ: $m^2 - 2m + 1$

г) $(5 + p)^2$

Способ 1: Умножение многочленов

$(5 + p)^2 = (5 + p)(5 + p) = 5 \cdot 5 + 5 \cdot p + p \cdot 5 + p \cdot p = 25 + 5p + 5p + p^2$

Приводим подобные слагаемые и записываем в стандартном виде:

$p^2 + 10p + 25$

Способ 2: Формула квадрата суммы

Используем формулу $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a = 5$ и $b = p$:

$(5 + p)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot p + p^2 = 25 + 10p + p^2$

Записываем в стандартном виде:

$p^2 + 10p + 25$

Ответ: $p^2 + 10p + 25$

д) $(2a - 3)^2$

Способ 1: Умножение многочленов

$(2a - 3)^2 = (2a - 3)(2a - 3) = 2a \cdot 2a - 2a \cdot 3 - 3 \cdot 2a + (-3) \cdot (-3) = 4a^2 - 6a - 6a + 9$

Приводим подобные слагаемые:

$4a^2 - 12a + 9$

Способ 2: Формула квадрата разности

Используем формулу $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x = 2a$ и $y = 3$:

$(2a - 3)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot 3 + 3^2 = 4a^2 - 12a + 9$

Ответ: $4a^2 - 12a + 9$

е) $(4 - 3y)^2$

Способ 1: Умножение многочленов

$(4 - 3y)^2 = (4 - 3y)(4 - 3y) = 4 \cdot 4 - 4 \cdot 3y - 3y \cdot 4 + (-3y) \cdot (-3y) = 16 - 12y - 12y + 9y^2$

Приводим подобные слагаемые и записываем в стандартном виде:

$9y^2 - 24y + 16$

Способ 2: Формула квадрата разности

Используем формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = 4$ и $b = 3y$:

$(4 - 3y)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot (3y) + (3y)^2 = 16 - 24y + 9y^2$

Записываем в стандартном виде:

$9y^2 - 24y + 16$

Ответ: $9y^2 - 24y + 16$

ж) $(3m + 2n)^2$

Способ 1: Умножение многочленов

$(3m + 2n)^2 = (3m + 2n)(3m + 2n) = 3m \cdot 3m + 3m \cdot 2n + 2n \cdot 3m + 2n \cdot 2n = 9m^2 + 6mn + 6mn + 4n^2$

Приводим подобные слагаемые:

$9m^2 + 12mn + 4n^2$

Способ 2: Формула квадрата суммы

Используем формулу $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a = 3m$ и $b = 2n$:

$(3m + 2n)^2 = (3m)^2 + 2 \cdot (3m) \cdot (2n) + (2n)^2 = 9m^2 + 12mn + 4n^2$

Ответ: $9m^2 + 12mn + 4n^2$

з) $(5p - 2q)^2$

Способ 1: Умножение многочленов

$(5p - 2q)^2 = (5p - 2q)(5p - 2q) = 5p \cdot 5p - 5p \cdot 2q - 2q \cdot 5p + (-2q) \cdot (-2q) = 25p^2 - 10pq - 10pq + 4q^2$

Приводим подобные слагаемые:

$25p^2 - 20pq + 4q^2$

Способ 2: Формула квадрата разности

Используем формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = 5p$ и $b = 2q$:

$(5p - 2q)^2 = (5p)^2 - 2 \cdot (5p) \cdot (2q) + (2q)^2 = 25p^2 - 20pq + 4q^2$

Ответ: $25p^2 - 20pq + 4q^2$

353. Используя формулу квадрата суммы или разности, преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

а) $(a - b^2)^2$;

б) $(x^3 - y)^2$;

в) $(m^3 - n^2)^2$;

г) $(p^4 + q^2)^2$;

д) $(a^3 + ab)^2$;

е) $(x^3 - y^2z)^2$;

ж) $(2m - n^2)^2$;

з) $(3p^2 - 2q^3)^2$;

и) $(4a^2b - 3ab^2)^2$.

а) Для преобразования выражения $(a - b^2)^2$ используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=a$ и $y=b^2$.
Подставляем значения в формулу: $(a)^2 - 2 \cdot a \cdot b^2 + (b^2)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^4$.
Ответ: $a^2 - 2ab^2 + b^4$

б) Для преобразования выражения $(x^3 - y)^2$ используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x^3$ и $b=y$.
Подставляем значения в формулу: $(x^3)^2 - 2 \cdot x^3 \cdot y + y^2 = x^6 - 2x^3y + y^2$.
Ответ: $x^6 - 2x^3y + y^2$

в) Для преобразования выражения $(m^3 - n^2)^2$ используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=m^3$ и $b=n^2$.
Подставляем значения в формулу: $(m^3)^2 - 2 \cdot m^3 \cdot n^2 + (n^2)^2 = m^6 - 2m^3n^2 + n^4$.
Ответ: $m^6 - 2m^3n^2 + n^4$

г) Для преобразования выражения $(p^4 + q^2)^2$ используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=p^4$ и $b=q^2$.
Подставляем значения в формулу: $(p^4)^2 + 2 \cdot p^4 \cdot q^2 + (q^2)^2 = p^8 + 2p^4q^2 + q^4$.
Ответ: $p^8 + 2p^4q^2 + q^4$

д) Для преобразования выражения $(a^3 + ab)^2$ используем формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x=a^3$ и $y=ab$.
Подставляем значения в формулу: $(a^3)^2 + 2 \cdot a^3 \cdot (ab) + (ab)^2 = a^6 + 2a^4b + a^2b^2$.
Ответ: $a^6 + 2a^4b + a^2b^2$

е) Для преобразования выражения $(x^3 - y^2z)^2$ используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x^3$ и $b=y^2z$.
Подставляем значения в формулу: $(x^3)^2 - 2 \cdot x^3 \cdot (y^2z) + (y^2z)^2 = x^6 - 2x^3y^2z + y^4z^2$.
Ответ: $x^6 - 2x^3y^2z + y^4z^2$

ж) Для преобразования выражения $(2m - n^2)^2$ используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=2m$ и $b=n^2$.
Подставляем значения в формулу: $(2m)^2 - 2 \cdot (2m) \cdot n^2 + (n^2)^2 = 4m^2 - 4mn^2 + n^4$.
Ответ: $4m^2 - 4mn^2 + n^4$

з) Для преобразования выражения $(3p^2 - 2q^3)^2$ используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=3p^2$ и $b=2q^3$.
Подставляем значения в формулу: $(3p^2)^2 - 2 \cdot (3p^2) \cdot (2q^3) + (2q^3)^2 = 9p^4 - 12p^2q^3 + 4q^6$.
Ответ: $9p^4 - 12p^2q^3 + 4q^6$

и) Для преобразования выражения $(4a^2b - 3ab^2)^2$ используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=4a^2b$ и $y=3ab^2$.
Подставляем значения в формулу: $(4a^2b)^2 - 2 \cdot (4a^2b) \cdot (3ab^2) + (3ab^2)^2 = 16(a^2)^2b^2 - 24a^2ab^2b + 9a^2(b^2)^2 = 16a^4b^2 - 24a^3b^3 + 9a^2b^4$.
Ответ: $16a^4b^2 - 24a^3b^3 + 9a^2b^4$

354. Преобразуйте выражение в многочлен:

а) $(\frac{1}{5}mn - m^3)^2;$

б) $(-\frac{1}{2} + 3bc)^2;$

в) $(\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{3}y^4)^2;$

г) $(-1\frac{1}{2}p^2 + \frac{2}{3}q)^2;$

д) $(1\frac{1}{3}ab^2 - 3a^2b)^2;$

е) $(2m^3n^2 - 2\frac{1}{2}mn^3)^2;$

ж) $(0.1a + 3a^2b)^2;$

з) $(1.2xy + 0.7x^2)^2;$

и) $(-0.5x^3y^2 + 0.3xy^5)^2.$

Для решения всех пунктов задачи используются формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

а) Чтобы преобразовать выражение $(\frac{1}{5}mn - m^3)^2$ в многочлен, воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a = \frac{1}{5}mn$ и $b = m^3$.

Находим квадрат первого члена: $a^2 = (\frac{1}{5}mn)^2 = \frac{1}{25}m^2n^2$.

Находим удвоенное произведение первого и второго членов: $2ab = 2 \cdot \frac{1}{5}mn \cdot m^3 = \frac{2}{5}m^{1+3}n = \frac{2}{5}m^4n$.

Находим квадрат второго члена: $b^2 = (m^3)^2 = m^{3 \cdot 2} = m^6$.

Собираем многочлен: $(\frac{1}{5}mn - m^3)^2 = \frac{1}{25}m^2n^2 - \frac{2}{5}m^4n + m^6$.

Ответ: $\frac{1}{25}m^2n^2 - \frac{2}{5}m^4n + m^6$

б) Преобразуем выражение $(-\frac{1}{2} + 3bc)^2$. Это можно сделать, представив его как $(3bc - \frac{1}{2})^2$ и применив формулу квадрата разности, или применив формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $a = -\frac{1}{2}$ и $b = 3bc$.

Квадрат первого члена: $a^2 = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot 3bc = -3bc$.

Квадрат второго члена: $b^2 = (3bc)^2 = 9b^2c^2$.

Результат: $(-\frac{1}{2} + 3bc)^2 = \frac{1}{4} - 3bc + 9b^2c^2$. Запишем в стандартном виде.

Ответ: $9b^2c^2 - 3bc + \frac{1}{4}$

в) Для выражения $(\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{3}y^4)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = \frac{1}{2}x^3$ и $b = \frac{1}{3}y^4$.

$a^2 = (\frac{1}{2}x^3)^2 = \frac{1}{4}x^6$.

$2ab = 2 \cdot \frac{1}{2}x^3 \cdot \frac{1}{3}y^4 = \frac{1}{3}x^3y^4$.

$b^2 = (\frac{1}{3}y^4)^2 = \frac{1}{9}y^8$.

Таким образом, $(\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{3}y^4)^2 = \frac{1}{4}x^6 - \frac{1}{3}x^3y^4 + \frac{1}{9}y^8$.

Ответ: $\frac{1}{4}x^6 - \frac{1}{3}x^3y^4 + \frac{1}{9}y^8$

г) Преобразуем выражение $(-1\frac{1}{2}p^2 + \frac{2}{3}q)^2$. Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Выражение принимает вид $(-\frac{3}{2}p^2 + \frac{2}{3}q)^2$. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $a = -\frac{3}{2}p^2$ и $b = \frac{2}{3}q$.

$a^2 = (-\frac{3}{2}p^2)^2 = \frac{9}{4}p^4$.

$2ab = 2 \cdot (-\frac{3}{2}p^2) \cdot (\frac{2}{3}q) = -2p^2q$.

$b^2 = (\frac{2}{3}q)^2 = \frac{4}{9}q^2$.

Итоговый многочлен: $(-\frac{3}{2}p^2 + \frac{2}{3}q)^2 = \frac{9}{4}p^4 - 2p^2q + \frac{4}{9}q^2$.

Ответ: $\frac{9}{4}p^4 - 2p^2q + \frac{4}{9}q^2$

д) Для выражения $(1\frac{1}{3}ab^2 - 3a^2b)^2$ сначала переведем смешанное число: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

Получаем $(\frac{4}{3}ab^2 - 3a^2b)^2$. Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = \frac{4}{3}ab^2$ и $b = 3a^2b$.

$a^2 = (\frac{4}{3}ab^2)^2 = \frac{16}{9}a^2b^4$.

$2ab = 2 \cdot \frac{4}{3}ab^2 \cdot 3a^2b = 8a^3b^3$.

$b^2 = (3a^2b)^2 = 9a^4b^2$.

Результат: $(\frac{4}{3}ab^2 - 3a^2b)^2 = \frac{16}{9}a^2b^4 - 8a^3b^3 + 9a^4b^2$.

Ответ: $9a^4b^2 - 8a^3b^3 + \frac{16}{9}a^2b^4$

е) Преобразуем $(2m^3n^2 - 2\frac{1}{2}mn^3)^2$. Переведем смешанное число $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

Имеем $(2m^3n^2 - \frac{5}{2}mn^3)^2$. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Где $a = 2m^3n^2$ и $b = \frac{5}{2}mn^3$.

$a^2 = (2m^3n^2)^2 = 4m^6n^4$.

$2ab = 2 \cdot 2m^3n^2 \cdot \frac{5}{2}mn^3 = 10m^4n^5$.

$b^2 = (\frac{5}{2}mn^3)^2 = \frac{25}{4}m^2n^6$.

Многочлен: $(2m^3n^2 - \frac{5}{2}mn^3)^2 = 4m^6n^4 - 10m^4n^5 + \frac{25}{4}m^2n^6$.

Ответ: $4m^6n^4 - 10m^4n^5 + \frac{25}{4}m^2n^6$

ж) Раскроем скобки в выражении $(0,1a + 3a^2b)^2$, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь $x = 0,1a$ и $y = 3a^2b$.

$x^2 = (0,1a)^2 = 0,01a^2$.

$2xy = 2 \cdot 0,1a \cdot 3a^2b = 0,6a^3b$.

$y^2 = (3a^2b)^2 = 9a^4b^2$.

Получаем: $(0,1a + 3a^2b)^2 = 0,01a^2 + 0,6a^3b + 9a^4b^2$. Запишем в стандартном виде.

Ответ: $9a^4b^2 + 0,6a^3b + 0,01a^2$

з) Для выражения $(1,2xy + 0,7x^2)^2$ применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Где $a = 1,2xy$ и $b = 0,7x^2$.

$a^2 = (1,2xy)^2 = 1,44x^2y^2$.

$2ab = 2 \cdot 1,2xy \cdot 0,7x^2 = 1,68x^3y$.

$b^2 = (0,7x^2)^2 = 0,49x^4$.

Результат: $(1,2xy + 0,7x^2)^2 = 1,44x^2y^2 + 1,68x^3y + 0,49x^4$. Запишем в стандартном виде.

Ответ: $0,49x^4 + 1,68x^3y + 1,44x^2y^2$

и) Преобразуем выражение $(-0,5x^3y^2 + 0,3xy^5)^2$. Для удобства поменяем слагаемые местами: $(0,3xy^5 - 0,5x^3y^2)^2$.

Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = 0,3xy^5$ и $b = 0,5x^3y^2$.

Находим квадрат первого члена: $a^2 = (0,3xy^5)^2 = 0,09x^2y^{10}$.

Находим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot 0,3xy^5 \cdot 0,5x^3y^2 = 0,3x^4y^7$.

Находим квадрат второго члена: $b^2 = (0,5x^3y^2)^2 = 0,25x^6y^4$.

Собираем многочлен: $0,09x^2y^{10} - 0,3x^4y^7 + 0,25x^6y^4$. Запишем в стандартном виде по убыванию степеней $x$.

Ответ: $0,25x^6y^4 - 0,3x^4y^7 + 0,09x^2y^{10}$

355. Доказываем.

Пользуясь рисунком 14, докажите формулу квадрата разности для $a > 0, b > 0, a > b$.

Рис. 14

Для доказательства формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ при условиях $a > 0, b > 0, a > b$ воспользуемся геометрическим методом, основанным на предоставленном рисунке.

На рисунке изображен большой квадрат со стороной $a$. Его общая площадь равна $S_{общ} = a^2$.

Этот квадрат можно представить как сумму площадей четырех меньших фигур, на которые он разделен:

1. Закрашенный квадрат (в левом верхнем углу) со стороной $(a-b)$. Его площадь равна $S_1 = (a-b)^2$.
2. Прямоугольник (в правом верхнем углу) со сторонами $b$ и $(a-b)$. Его площадь равна $S_2 = b(a-b)$.
3. Прямоугольник (в левом нижнем углу) со сторонами $(a-b)$ и $b$. Его площадь равна $S_3 = (a-b)b$.
4. Квадрат (в правом нижнем углу) со стороной $b$. Его площадь равна $S_4 = b^2$.

Площадь большого квадрата равна сумме площадей этих четырех частей:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4$

Подставим выражения для площадей:

$a^2 = (a-b)^2 + b(a-b) + (a-b)b + b^2$

Это равенство можно использовать, чтобы выразить площадь закрашенного квадрата $(a-b)^2$. Для этого перенесем все остальные слагаемые в левую часть:

$(a-b)^2 = a^2 - b(a-b) - (a-b)b - b^2$

Раскроем скобки в правой части:

$(a-b)^2 = a^2 - (ab - b^2) - (ab - b^2) - b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - ab + b^2 - ab + b^2 - b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Таким образом, мы геометрически доказали формулу квадрата разности. Заданные условия $a > 0$, $b > 0$ и $a > b$ обеспечивают корректность геометрической интерпретации, так как все длины сторон и площади являются положительными числами.

Ответ: Формула $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ доказана с помощью разбиения квадрата со стороной $a$ на части и вычисления его площади как суммы площадей этих частей.

356. Вычислите, применив формулу квадрата разности:

а) $49^2$;

б) $89^2$;

в) $199^2$;

г) $38^2$;

д) $98^2$;

е) $198^2$.

Для решения данной задачи используется формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

а) Представим число $49$ в виде разности $50-1$ и применим формулу:

$49^2 = (50-1)^2 = 50^2 - 2 \cdot 50 \cdot 1 + 1^2 = 2500 - 100 + 1 = 2401$.

Ответ: 2401

б) Представим число $89$ в виде разности $90-1$ и применим формулу:

$89^2 = (90-1)^2 = 90^2 - 2 \cdot 90 \cdot 1 + 1^2 = 8100 - 180 + 1 = 7921$.

Ответ: 7921

в) Представим число $199$ в виде разности $200-1$ и применим формулу:

$199^2 = (200-1)^2 = 200^2 - 2 \cdot 200 \cdot 1 + 1^2 = 40000 - 400 + 1 = 39601$.

Ответ: 39601

г) Представим число $38$ в виде разности $40-2$ и применим формулу:

$38^2 = (40-2)^2 = 40^2 - 2 \cdot 40 \cdot 2 + 2^2 = 1600 - 160 + 4 = 1444$.

Ответ: 1444

д) Представим число $98$ в виде разности $100-2$ и применим формулу:

$98^2 = (100-2)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604$.

Ответ: 9604

е) Представим число $198$ в виде разности $200-2$ и применим формулу:

$198^2 = (200-2)^2 = 200^2 - 2 \cdot 200 \cdot 2 + 2^2 = 40000 - 800 + 4 = 39204$.

Ответ: 39204

357. Представьте многочлен в виде квадрата разности:

а) $a^2 - 2ab + b^2;$

б) $4x^2 - 4xy + y^2;$ Рис. 14

в) $9m^2 - 6m + 1;$

г) $25 - 30c + 9c^2;$

д) $16p^2 - 56pq + 49q^2;$

е) $100a^2 + 25b^2 - 100ab;$

ж) $x^4 - 6x^2y + 9y^2;$

з) $16 + 9x^6 - 24x^3.$

а) Данный многочлен $a^2 - 2ab + b^2$ является точным соответствием формулы квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В этом выражении $x$ соответствует $a$, а $y$ соответствует $b$.
Таким образом, $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Ответ: $(a - b)^2$.

б) Чтобы представить многочлен $4x^2 - 4xy + y^2$ в виде квадрата разности, воспользуемся формулой $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Определим $A$ и $B$. Первый член $A^2 = 4x^2$, значит $A = 2x$. Последний член $B^2 = y^2$, значит $B = y$.
Теперь проверим, соответствует ли средний член выражению $-2AB$: $-2 \cdot (2x) \cdot y = -4xy$.
Так как средний член совпадает, многочлен можно свернуть в квадрат разности: $4x^2 - 4xy + y^2 = (2x - y)^2$.
Ответ: $(2x - y)^2$.

в) Рассмотрим многочлен $9m^2 - 6m + 1$. Применяем формулу $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Первый член $A^2 = 9m^2$, откуда $A = 3m$. Последний член $B^2 = 1$, откуда $B=1$.
Проверим удвоенное произведение: $-2AB = -2 \cdot (3m) \cdot 1 = -6m$.
Условие выполняется, следовательно, $9m^2 - 6m + 1 = (3m - 1)^2$.
Ответ: $(3m - 1)^2$.

г) Для многочлена $25 - 30c + 9c^2$ используем формулу $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Первый член $A^2 = 25$, значит $A = 5$. Последний член $B^2 = 9c^2$, значит $B = 3c$.
Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot 5 \cdot (3c) = -30c$.
Многочлен является полным квадратом разности: $25 - 30c + 9c^2 = (5 - 3c)^2$.
Ответ: $(5 - 3c)^2$.

д) Рассмотрим многочлен $16p^2 - 56pq + 49q^2$. Применяем формулу $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Первый член $A^2 = 16p^2$, значит $A = 4p$. Последний член $B^2 = 49q^2$, значит $B = 7q$.
Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot (4p) \cdot (7q) = -56pq$.
Формула применима, поэтому $16p^2 - 56pq + 49q^2 = (4p - 7q)^2$.
Ответ: $(4p - 7q)^2$.

е) Для многочлена $100a^2 + 25b^2 - 100ab$ сначала изменим порядок членов для соответствия стандартной форме: $100a^2 - 100ab + 25b^2$.
Теперь применим формулу $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Первый член $A^2 = 100a^2$, откуда $A = 10a$. Последний член $B^2 = 25b^2$, откуда $B = 5b$.
Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot (10a) \cdot (5b) = -100ab$.
Следовательно, $100a^2 - 100ab + 25b^2 = (10a - 5b)^2$.
Ответ: $(10a - 5b)^2$.

ж) Для многочлена $x^4 - 6x^2y + 9y^2$ применяем формулу $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Первый член $A^2 = x^4$, откуда $A = x^2$. Последний член $B^2 = 9y^2$, откуда $B = 3y$.
Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot (x^2) \cdot (3y) = -6x^2y$.
Многочлен сворачивается в квадрат разности: $x^4 - 6x^2y + 9y^2 = (x^2 - 3y)^2$.
Ответ: $(x^2 - 3y)^2$.

з) Многочлен $16 + 9x^6 - 24x^3$ сначала упорядочим: $9x^6 - 24x^3 + 16$.
Применяем формулу $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Первый член $A^2 = 9x^6$, значит $A = 3x^3$. Последний член $B^2 = 16$, значит $B = 4$.
Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot (3x^3) \cdot 4 = -24x^3$.
Следовательно, $9x^6 - 24x^3 + 16 = (3x^3 - 4)^2$.
Ответ: $(3x^3 - 4)^2$.