Страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

340. Используя формулу квадрата суммы, преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

а) $(a^2 + b)^2;$

б) $(x + y^3)^2;$

в) $(m^2 + n^2)^2;$

г) $(p^3 + q^5)^2;$

д) $(ab + c)^2;$

е) $(x + yz)^2;$

ж) $(3m + n^3)^2;$

з) $(2p + 3q^2)^2;$

и) $(3ab^2 + 2c^3)^2.$

а) Для преобразования выражения $(a^2 + b)^2$ используем формулу квадрата суммы. В данном случае $A=a^2$ и $B=b$.
Подставляем в формулу: $(a^2 + b)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot b + b^2 = a^4 + 2a^2b + b^2$.
Ответ: $a^4 + 2a^2b + b^2$

б) В выражении $(x + y^3)^2$ слагаемые $A=x$ и $B=y^3$.
Применяем формулу: $(x + y^3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot y^3 + (y^3)^2 = x^2 + 2xy^3 + y^6$.
Ответ: $x^2 + 2xy^3 + y^6$

в) В выражении $(m^2 + n^2)^2$ слагаемые $A=m^2$ и $B=n^2$.
Применяем формулу: $(m^2 + n^2)^2 = (m^2)^2 + 2 \cdot m^2 \cdot n^2 + (n^2)^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4$.
Ответ: $m^4 + 2m^2n^2 + n^4$

г) В выражении $(p^3 + q^5)^2$ слагаемые $A=p^3$ и $B=q^5$.
Применяем формулу: $(p^3 + q^5)^2 = (p^3)^2 + 2 \cdot p^3 \cdot q^5 + (q^5)^2 = p^6 + 2p^3q^5 + q^{10}$.
Ответ: $p^6 + 2p^3q^5 + q^{10}$

д) В выражении $(ab + c)^2$ слагаемые $A=ab$ и $B=c$.
Применяем формулу: $(ab + c)^2 = (ab)^2 + 2 \cdot ab \cdot c + c^2 = a^2b^2 + 2abc + c^2$.
Ответ: $a^2b^2 + 2abc + c^2$

е) В выражении $(x + yz)^2$ слагаемые $A=x$ и $B=yz$.
Применяем формулу: $(x + yz)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot yz + (yz)^2 = x^2 + 2xyz + y^2z^2$.
Ответ: $x^2 + 2xyz + y^2z^2$

ж) В выражении $(3m + n^3)^2$ слагаемые $A=3m$ и $B=n^3$.
Применяем формулу: $(3m + n^3)^2 = (3m)^2 + 2 \cdot 3m \cdot n^3 + (n^3)^2 = 9m^2 + 6mn^3 + n^6$.
Ответ: $9m^2 + 6mn^3 + n^6$

з) В выражении $(2p + 3q^2)^2$ слагаемые $A=2p$ и $B=3q^2$.
Применяем формулу: $(2p + 3q^2)^2 = (2p)^2 + 2 \cdot 2p \cdot 3q^2 + (3q^2)^2 = 4p^2 + 12pq^2 + 9q^4$.
Ответ: $4p^2 + 12pq^2 + 9q^4$

и) В выражении $(3ab^2 + 2c^3)^2$ слагаемые $A=3ab^2$ и $B=2c^3$.
Применяем формулу: $(3ab^2 + 2c^3)^2 = (3ab^2)^2 + 2 \cdot (3ab^2) \cdot (2c^3) + (2c^3)^2 = 9a^2b^4 + 12ab^2c^3 + 4c^6$.
Ответ: $9a^2b^4 + 12ab^2c^3 + 4c^6$

341. Преобразуйте выражение в многочлен:

а) $(\frac{1}{2}+a)^{2}$;

б) $(x+\frac{1}{3})^{2}$;

в) $(m+0,2)^{2}$;

г) $(1,1+p)^{2}$;

д) $(\frac{1}{2}a+\frac{2}{3}b)^{2}$;

е) $(\frac{3}{4}x+\frac{1}{5}y)^{2}$;

ж) $(0,2m+2,1n)^{2}$;

з) $(0,4p+0,3q)^{2}$;

и) $(\frac{3}{5}ab+\frac{1}{2}c^{2})^{2}$.

Для преобразования данных выражений в многочлен используется формула сокращенного умножения, известная как «квадрат суммы»:

$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$

Применим эту формулу к каждому из выражений.

а) $(\frac{1}{2} + a)^2$

В этом выражении $A = \frac{1}{2}$ и $B = a$.

Подставляем в формулу:

$(\frac{1}{2} + a)^2 = (\frac{1}{2})^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a + a^2$

Выполняем вычисления:

$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a = a$

Собираем все вместе:

$\frac{1}{4} + a + a^2$

Ответ: $\frac{1}{4} + a + a^2$

б) $(x + \frac{1}{3})^2$

Здесь $A = x$ и $B = \frac{1}{3}$.

Применяем формулу квадрата суммы:

$(x + \frac{1}{3})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2$

Упрощаем каждый член:

$x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}$

Ответ: $x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}$

в) $(m + 0,2)^2$

В данном случае $A = m$ и $B = 0,2$.

Используем формулу:

$(m + 0,2)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 0,2 + (0,2)^2$

Вычисляем значения:

$m^2 + 0,4m + 0,04$

Ответ: $m^2 + 0,4m + 0,04$

г) $(1,1 + p)^2$

Здесь $A = 1,1$ и $B = p$.

Раскрываем скобки по формуле:

$(1,1 + p)^2 = (1,1)^2 + 2 \cdot 1,1 \cdot p + p^2$

Производим расчеты:

$1,21 + 2,2p + p^2$

Ответ: $1,21 + 2,2p + p^2$

д) $(\frac{1}{2}a + \frac{2}{3}b)^2$

В этом выражении $A = \frac{1}{2}a$ и $B = \frac{2}{3}b$.

Подставляем в формулу квадрата суммы:

$(\frac{1}{2}a + \frac{2}{3}b)^2 = (\frac{1}{2}a)^2 + 2 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot (\frac{2}{3}b) + (\frac{2}{3}b)^2$

Возводим в квадрат и умножаем:

$\frac{1}{4}a^2 + \frac{4}{6}ab + \frac{4}{9}b^2$

Сокращаем дробь в среднем члене:

$\frac{1}{4}a^2 + \frac{2}{3}ab + \frac{4}{9}b^2$

Ответ: $\frac{1}{4}a^2 + \frac{2}{3}ab + \frac{4}{9}b^2$

е) $(\frac{3}{4}x + \frac{1}{5}y)^2$

Здесь $A = \frac{3}{4}x$ и $B = \frac{1}{5}y$.

Применяем формулу:

$(\frac{3}{4}x + \frac{1}{5}y)^2 = (\frac{3}{4}x)^2 + 2 \cdot (\frac{3}{4}x) \cdot (\frac{1}{5}y) + (\frac{1}{5}y)^2$

Выполняем вычисления:

$\frac{9}{16}x^2 + \frac{6}{20}xy + \frac{1}{25}y^2$

Сокращаем дробь $\frac{6}{20}$ на 2:

$\frac{9}{16}x^2 + \frac{3}{10}xy + \frac{1}{25}y^2$

Ответ: $\frac{9}{16}x^2 + \frac{3}{10}xy + \frac{1}{25}y^2$

ж) $(0,2m + 2,1n)^2$

В этом случае $A = 0,2m$ и $B = 2,1n$.

Раскрываем скобки по формуле:

$(0,2m + 2,1n)^2 = (0,2m)^2 + 2 \cdot (0,2m) \cdot (2,1n) + (2,1n)^2$

Вычисляем квадраты и произведение:

$0,04m^2 + 0,84mn + 4,41n^2$

Ответ: $0,04m^2 + 0,84mn + 4,41n^2$

з) $(0,4p + 0,3q)^2$

Здесь $A = 0,4p$ и $B = 0,3q$.

Используем формулу квадрата суммы:

$(0,4p + 0,3q)^2 = (0,4p)^2 + 2 \cdot (0,4p) \cdot (0,3q) + (0,3q)^2$

Производим расчеты:

$0,16p^2 + 0,24pq + 0,09q^2$

Ответ: $0,16p^2 + 0,24pq + 0,09q^2$

и) $(\frac{3}{5}ab + \frac{1}{2}c^2)^2$

В этом выражении $A = \frac{3}{5}ab$ и $B = \frac{1}{2}c^2$.

Подставляем в формулу:

$(\frac{3}{5}ab + \frac{1}{2}c^2)^2 = (\frac{3}{5}ab)^2 + 2 \cdot (\frac{3}{5}ab) \cdot (\frac{1}{2}c^2) + (\frac{1}{2}c^2)^2$

Выполняем возведение в степень и умножение:

$\frac{9}{25}a^2b^2 + \frac{6}{10}abc^2 + \frac{1}{4}c^4$

Сокращаем дробь в среднем члене:

$\frac{9}{25}a^2b^2 + \frac{3}{5}abc^2 + \frac{1}{4}c^4$

Ответ: $\frac{9}{25}a^2b^2 + \frac{3}{5}abc^2 + \frac{1}{4}c^4$

342. Доказываем. Пользуясь рисунком 13, докажите, что для $a > 0, b > 0$ верно равенство $(a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$.

Рис. 13

Чтобы доказать равенство $(a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$ с помощью рисунка 13, рассмотрим площадь большого квадрата. Условие $a > 0, b > 0$ означает, что мы имеем дело с реальными геометрическими фигурами, имеющими положительные длины сторон.

1. Вычисление площади большого квадрата через длину его стороны.

На рисунке 13 изображен большой квадрат. Длина каждой его стороны равна сумме длин отрезков $a$ и $b$. То есть, сторона большого квадрата равна $(a + b)$.

Площадь квадрата вычисляется как квадрат его стороны. Следовательно, площадь большого квадрата $S$ равна:

$S = (a + b) \cdot (a + b) = (a + b)^2$

2. Вычисление площади большого квадрата как суммы площадей его частей.

Этот большой квадрат разделен на четыре меньшие фигуры:

• Квадрат со стороной $a$ (в левом нижнем углу). Его площадь равна $S_1 = a \cdot a = a^2$.
• Квадрат со стороной $b$ (в правом верхнем углу). Его площадь равна $S_2 = b \cdot b = b^2$.
• Два одинаковых прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Их площади равны $S_3 = a \cdot b$ и $S_4 = a \cdot b$.

Площадь большого квадрата равна сумме площадей этих четырех фигур:

$S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = a^2 + b^2 + ab + ab$

Сложив подобные слагаемые, получаем:

$S = a^2 + 2ab + b^2$

3. Заключение.

Мы вычислили площадь одного и того же большого квадрата двумя разными способами и получили два выражения. Поскольку оба выражения представляют одну и ту же площадь, они должны быть равны друг другу:

$(a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, равенство доказано геометрически.

Ответ: Равенство $(a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$ доказано путем вычисления площади квадрата со стороной $(a + b)$ двумя способами: как квадрат его стороны и как сумму площадей четырех фигур, на которые он разбит (квадрата со стороной $a$, квадрата со стороной $b$ и двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$).

343. Вычислите, применив формулу квадрата суммы:

а) $41^2$;

б) $91^2$;

в) $201^2$;

г) $32^2$;

д) $72^2$;

е) $302^2$.

Для решения задачи необходимо применить формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

а)

Представим число 41 в виде суммы $40 + 1$ и воспользуемся формулой:

$41^2 = (40 + 1)^2 = 40^2 + 2 \cdot 40 \cdot 1 + 1^2 = 1600 + 80 + 1 = 1681$.

Ответ: 1681

б)

Представим число 91 в виде суммы $90 + 1$ и воспользуемся формулой:

$91^2 = (90 + 1)^2 = 90^2 + 2 \cdot 90 \cdot 1 + 1^2 = 8100 + 180 + 1 = 8281$.

Ответ: 8281

в)

Представим число 201 в виде суммы $200 + 1$ и воспользуемся формулой:

$201^2 = (200 + 1)^2 = 200^2 + 2 \cdot 200 \cdot 1 + 1^2 = 40000 + 400 + 1 = 40401$.

Ответ: 40401

г)

Представим число 32 в виде суммы $30 + 2$ и воспользуемся формулой:

$32^2 = (30 + 2)^2 = 30^2 + 2 \cdot 30 \cdot 2 + 2^2 = 900 + 120 + 4 = 1024$.

Ответ: 1024

д)

Представим число 72 в виде суммы $70 + 2$ и воспользуемся формулой:

$72^2 = (70 + 2)^2 = 70^2 + 2 \cdot 70 \cdot 2 + 2^2 = 4900 + 280 + 4 = 5184$.

Ответ: 5184

е)

Представим число 302 в виде суммы $300 + 2$ и воспользуемся формулой:

$302^2 = (300 + 2)^2 = 300^2 + 2 \cdot 300 \cdot 2 + 2^2 = 90000 + 1200 + 4 = 91204$.

Ответ: 91204

344. Доказываем.

Любое натуральное число, оканчивающееся цифрой 5, можно записать в виде $10a + 5$.

Например: $25 = 10 \cdot 2 + 5$.

Докажите, что для вычисления квадрата такого числа можно к произведению $a(a + 1)$ приписать справа 25.

Например: $25^2 = 625 (2 \cdot 3 = 6)$.

Пусть $N$ — любое натуральное число, оканчивающееся на 5. Как указано в условии, такое число можно представить в виде $N = 10a + 5$, где $a$ — это целое неотрицательное число, которое получается из числа $N$ отбрасыванием его последней цифры, равной 5.

Нам нужно доказать, что для вычисления квадрата числа $N$ можно к произведению $a(a + 1)$ приписать справа 25.

Для этого возведем в квадрат выражение $10a + 5$, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$N^2 = (10a + 5)^2 = (10a)^2 + 2 \cdot 10a \cdot 5 + 5^2$

Упростим правую часть равенства, выполнив вычисления:

$N^2 = 100a^2 + 100a + 25$

Теперь вынесем общий множитель 100 за скобки в первых двух слагаемых:

$N^2 = 100(a^2 + a) + 25$

Выражение в скобках можно представить в виде произведения $a^2 + a = a(a+1)$. Подставим это в нашу формулу:

$N^2 = 100 \cdot a(a+1) + 25$

Полученная формула $100 \cdot a(a+1) + 25$ является математической записью доказываемого правила. Умножение числа, равного $a(a+1)$, на 100 эквивалентно приписыванию к этому числу двух нулей справа. Последующее прибавление 25 заменяет эти два нуля на число 25. Таким образом, мы получаем число, которое состоит из цифр результата произведения $a(a+1)$, за которыми следуют цифры 2 и 5. Это и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на алгебраическом преобразовании квадрата числа вида $10a+5$. $(10a+5)^2 = 100a^2 + 100a + 25 = 100(a^2+a) + 25 = 100 \cdot a(a+1) + 25$. Эта последняя запись математически эквивалентна правилу "к произведению $a(a+1)$ приписать справа 25".

345. Представьте многочлен в виде квадрата суммы:

а) $x^2 + 2xy + y^2;$

б) $a^2 + 4ab + 4b^2;$

в) $9m^2 + 6mn + n^2;$

г) $16p^2 + 40pq + 25q^2;$

д) $x^2 + 2x + 1;$

е) $9 + 6a + a^2;$

ж) $16 + 8p + p^2;$

з) $4m^2 + 9n^2 + 12mn;$

и) $x^4 + 2x^2y^3 + y^6;$

к) $a^6 + 2a^3b^3 + b^6.$

Для представления многочлена в виде квадрата суммы используется формула сокращенного умножения: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Мы будем применять эту формулу для каждого из представленных многочленов.

а) $x^2 + 2xy + y^2$
В данном многочлене $a=x$ и $b=y$. Проверяем: первый член – это $x^2$, третий – $y^2$, а средний член – их удвоенное произведение $2 \cdot x \cdot y = 2xy$. Таким образом, многочлен является полным квадратом суммы.
$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
Ответ: $(x+y)^2$

б) $a^2 + 4ab + 4b^2$
Здесь первый член – это квадрат $a$, то есть $(a)^2$. Третий член – это квадрат $2b$, так как $4b^2 = (2b)^2$. Удвоенное произведение этих членов равно $2 \cdot a \cdot (2b) = 4ab$, что совпадает со вторым членом многочлена.
$a^2 + 4ab + 4b^2 = (a)^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a+2b)^2$.
Ответ: $(a+2b)^2$

в) $9m^2 + 6mn + n^2$
Представим первый член как квадрат $3m$, то есть $9m^2 = (3m)^2$. Третий член – это квадрат $n$, то есть $n^2 = (n)^2$. Их удвоенное произведение: $2 \cdot (3m) \cdot n = 6mn$.
$9m^2 + 6mn + n^2 = (3m)^2 + 2 \cdot (3m) \cdot n + n^2 = (3m+n)^2$.
Ответ: $(3m+n)^2$

г) $16p^2 + 40pq + 25q^2$
Первый член $16p^2 = (4p)^2$. Третий член $25q^2 = (5q)^2$. Удвоенное произведение $2 \cdot (4p) \cdot (5q) = 40pq$, что соответствует среднему члену.
$16p^2 + 40pq + 25q^2 = (4p)^2 + 2 \cdot (4p) \cdot (5q) + (5q)^2 = (4p+5q)^2$.
Ответ: $(4p+5q)^2$

д) $x^2 + 2x + 1$
Здесь первый член $x^2 = (x)^2$, третий член $1 = 1^2$. Удвоенное произведение $2 \cdot x \cdot 1 = 2x$.
$x^2 + 2x + 1 = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = (x+1)^2$.
Ответ: $(x+1)^2$

е) $9 + 6a + a^2$
Хотя члены расположены в другом порядке, это все еще полный квадрат. Первый член $9=3^2$, третий член $a^2=(a)^2$. Средний член является их удвоенным произведением: $2 \cdot 3 \cdot a = 6a$.
$9 + 6a + a^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot a + a^2 = (3+a)^2$.
Ответ: $(3+a)^2$

ж) $16 + 8p + p^2$
Аналогично предыдущему пункту: $16=4^2$, $p^2=(p)^2$, а $8p = 2 \cdot 4 \cdot p$.
$16 + 8p + p^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot p + p^2 = (4+p)^2$.
Ответ: $(4+p)^2$

з) $4m^2 + 9n^2 + 12mn$
Переставим члены для удобства: $4m^2 + 12mn + 9n^2$.
Первый член $4m^2 = (2m)^2$, третий член $9n^2 = (3n)^2$. Удвоенное произведение $2 \cdot (2m) \cdot (3n) = 12mn$.
$4m^2 + 12mn + 9n^2 = (2m)^2 + 2 \cdot (2m) \cdot (3n) + (3n)^2 = (2m+3n)^2$.
Ответ: $(2m+3n)^2$

и) $x^4 + 2x^2y^3 + y^6$
Здесь $x^4 = (x^2)^2$ и $y^6 = (y^3)^2$. Удвоенное произведение $2 \cdot x^2 \cdot y^3 = 2x^2y^3$.
$x^4 + 2x^2y^3 + y^6 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot y^3 + (y^3)^2 = (x^2+y^3)^2$.
Ответ: $(x^2+y^3)^2$

к) $a^6 + 2a^3b^3 + b^6$
Первый член $a^6 = (a^3)^2$, третий член $b^6 = (b^3)^2$. Удвоенное произведение $2 \cdot a^3 \cdot b^3 = 2a^3b^3$.
$a^6 + 2a^3b^3 + b^6 = (a^3)^2 + 2 \cdot a^3 \cdot b^3 + (b^3)^2 = (a^3+b^3)^2$.
Ответ: $(a^3+b^3)^2$

346. Вместо букв C и D подберите одночлены так, чтобы выполнялось равенство:

а) $(a + C)^2 = D + 2ab + b^2$;

б) $(2x + C)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$;

в) $(C + 3m)^2 = 4n^2 + 12mn + 9m^2$;

г) $(C + D)^2 = 9p^2 + 30pq + 25q^2$.

а) Для решения этого равенства мы используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Дано равенство: $(a + C)^2 = D + 2ab + b^2$.
Раскроем скобки в левой части: $(a + C)^2 = a^2 + 2aC + C^2$.
Приравняем правую и левую части: $a^2 + 2aC + C^2 = D + 2ab + b^2$.
Сравнивая члены многочленов, мы видим, что удвоенное произведение первого члена на второй в левой части ($2aC$) должно быть равно члену $2ab$ в правой части. Отсюда $2aC = 2ab$, что дает нам $C = b$.
Тогда квадрат второго члена $C^2$ должен быть равен $b^2$, что соответствует действительности, так как $C=b$.
Оставшиеся члены - это $a^2$ в левой части и $D$ в правой. Следовательно, $D = a^2$.
Проверка: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Равенство выполняется.
Ответ: $C=b$, $D=a^2$.

б) Дано равенство: $(2x + C)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$.
Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы: $(2x + C)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot C + C^2 = 4x^2 + 4xC + C^2$.
Приравняем полученное выражение к правой части равенства: $4x^2 + 4xC + C^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$.
Сравнивая члены многочленов, мы видим, что $4xC = 4xy$, откуда $C = y$.
Также должно выполняться $C^2 = y^2$. Подставляя $C=y$, получаем $y^2 = y^2$, что верно.
Проверка: $(2x+y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)y + y^2 = 4x^2+4xy+y^2$. Равенство выполняется.
Ответ: $C=y$.

в) Дано равенство: $(C + 3m)^2 = 4n^2 + 12mn + 9m^2$.
Раскроем скобки в левой части: $(C + 3m)^2 = C^2 + 2 \cdot C \cdot 3m + (3m)^2 = C^2 + 6Cm + 9m^2$.
Приравняем это к правой части: $C^2 + 6Cm + 9m^2 = 4n^2 + 12mn + 9m^2$.
Сравнивая члены, видим, что $9m^2$ присутствует в обеих частях.
Сравним первые члены: $C^2 = 4n^2$. Из этого следует, что $C = 2n$ или $C = -2n$.
Сравним средние члены: $6Cm = 12mn$.
Если подставить $C = 2n$, получим $6 \cdot (2n) \cdot m = 12mn$, что верно.
Если подставить $C = -2n$, получим $6 \cdot (-2n) \cdot m = -12mn$, что не соответствует правой части.
Следовательно, подходит только $C = 2n$.
Проверка: $(2n+3m)^2 = (2n)^2 + 2(2n)(3m) + (3m)^2 = 4n^2+12mn+9m^2$. Равенство выполняется.
Ответ: $C=2n$.

г) Дано равенство: $(C + D)^2 = 9p^2 + 30pq + 25q^2$.
Правая часть равенства является полным квадратом. Представим ее в виде $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Первый член $9p^2 = (3p)^2$, значит, $x=3p$.
Последний член $25q^2 = (5q)^2$, значит, $y=5q$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot 3p \cdot 5q = 30pq$. Это соответствует среднему члену в правой части.
Таким образом, правая часть равна $(3p + 5q)^2$.
Получаем равенство: $(C + D)^2 = (3p + 5q)^2$.
Отсюда следует, что $C+D = 3p+5q$. Мы можем выбрать $C = 3p$ и $D = 5q$. (Также возможен вариант $C = 5q$ и $D = 3p$).
Проверка: $(3p+5q)^2 = (3p)^2 + 2(3p)(5q) + (5q)^2 = 9p^2+30pq+25q^2$. Равенство выполняется.
Ответ: $C=3p$, $D=5q$.

347. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

а) $(a + b)^2 + (a + b)(a - b)$;

б) $(a + 3)^2 + (x + 1)^2$;

в) $2(m + 1)^2 + 3(m + 2)^2$;

г) $5(p + q)^2 + 3(p + 2q)^2$;

д) $(2a + 3b)^2 - (3a + 2b)^2$;

е) $2(3x + y)^2 - 3(2x + 3y)^2$;

ж) $(m + n)^2 + 2(m + n)(2m - n) + (2m - n)^2$;

з) $2(p + 3q)(p + 2q) - (p + 2q)^2 - (3q + p)^2$.

а) Чтобы преобразовать выражение, воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.
$(a + b)^2 + (a + b)(a - b) = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - b^2)$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - b^2 = (a^2 + a^2) + 2ab + (b^2 - b^2) = 2a^2 + 2ab$
Ответ: $2a^2 + 2ab$

б) Раскроем каждый квадрат суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. В данном выражении переменные разные ($a$ и $x$), поэтому многочлен будет содержать обе переменные.
$(a + 3)^2 + (x + 1)^2 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2) + (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2)$
$= (a^2 + 6a + 9) + (x^2 + 2x + 1)$
Приведем подобные слагаемые (в данном случае только числовые коэффициенты):
$a^2 + 6a + 9 + x^2 + 2x + 1 = a^2 + x^2 + 6a + 2x + 10$
Ответ: $a^2 + x^2 + 6a + 2x + 10$

в) Сначала раскроем скобки с квадратами, а затем умножим на стоящие перед ними коэффициенты.
$2(m + 1)^2 + 3(m + 2)^2 = 2(m^2 + 2m + 1) + 3(m^2 + 4m + 4)$
Теперь раскроем скобки, умножая каждый член многочлена на коэффициент:
$(2m^2 + 4m + 2) + (3m^2 + 12m + 12)$
Сложим многочлены и приведем подобные слагаемые:
$2m^2 + 4m + 2 + 3m^2 + 12m + 12 = (2m^2 + 3m^2) + (4m + 12m) + (2 + 12) = 5m^2 + 16m + 14$
Ответ: $5m^2 + 16m + 14$

г) Действуем аналогично предыдущему пункту: раскрываем квадраты, умножаем на коэффициенты и приводим подобные.
$5(p + q)^2 + 3(p + 2q)^2 = 5(p^2 + 2pq + q^2) + 3(p^2 + 2 \cdot p \cdot 2q + (2q)^2)$
$= 5(p^2 + 2pq + q^2) + 3(p^2 + 4pq + 4q^2)$
Раскрываем скобки:
$(5p^2 + 10pq + 5q^2) + (3p^2 + 12pq + 12q^2)$
Приводим подобные слагаемые:
$(5p^2 + 3p^2) + (10pq + 12pq) + (5q^2 + 12q^2) = 8p^2 + 22pq + 17q^2$
Ответ: $8p^2 + 22pq + 17q^2$

д) Раскроем каждый квадрат суммы, а затем выполним вычитание.
$(2a + 3b)^2 - (3a + 2b)^2 = ((2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2) - ((3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 2b + (2b)^2)$
$= (4a^2 + 12ab + 9b^2) - (9a^2 + 12ab + 4b^2)$
Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:
$4a^2 + 12ab + 9b^2 - 9a^2 - 12ab - 4b^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(4a^2 - 9a^2) + (12ab - 12ab) + (9b^2 - 4b^2) = -5a^2 + 0 + 5b^2 = 5b^2 - 5a^2$
Ответ: $5b^2 - 5a^2$

е) Раскроем квадраты, умножим на коэффициенты и приведем подобные слагаемые.
$2(3x + y)^2 - 3(2x + 3y)^2 = 2(9x^2 + 6xy + y^2) - 3(4x^2 + 12xy + 9y^2)$
$= (18x^2 + 12xy + 2y^2) - (12x^2 + 36xy + 27y^2)$
$= 18x^2 + 12xy + 2y^2 - 12x^2 - 36xy - 27y^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(18x^2 - 12x^2) + (12xy - 36xy) + (2y^2 - 27y^2) = 6x^2 - 24xy - 25y^2$
Ответ: $6x^2 - 24xy - 25y^2$

ж) Заметим, что это выражение является полным квадратом суммы. Оно имеет вид $A^2 + 2AB + B^2 = (A+B)^2$, где $A = (m+n)$, а $B = (2m-n)$.
$(m + n)^2 + 2(m + n)(2m - n) + (2m - n)^2 = ((m + n) + (2m - n))^2$
Упростим выражение в скобках:
$(m + n + 2m - n)^2 = (3m)^2$
Возведем в квадрат:
$9m^2$
Ответ: $9m^2$

з) Заметим, что $(3q+p)^2$ то же самое, что и $(p+3q)^2$. Перепишем выражение:
$2(p + 3q)(p + 2q) - (p + 2q)^2 - (p + 3q)^2$
Вынесем знак минус за скобку:
$-( (p + 3q)^2 - 2(p + 3q)(p + 2q) + (p + 2q)^2 )$
Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности $A^2 - 2AB + B^2 = (A-B)^2$, где $A = (p+3q)$ и $B = (p+2q)$.
$-((p + 3q) - (p + 2q))^2$
Упростим выражение во внутренних скобках:
$-(p + 3q - p - 2q)^2 = -(q)^2$
В итоге получаем:
$-q^2$
Ответ: $-q^2$