Номер 346, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.1. Квадрат суммы. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 346, страница 101.

Условие.

346. Вместо букв C и D подберите одночлены так, чтобы выполнялось равенство:

а) $(a + C)^2 = D + 2ab + b^2$;

б) $(2x + C)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$;

в) $(C + 3m)^2 = 4n^2 + 12mn + 9m^2$;

г) $(C + D)^2 = 9p^2 + 30pq + 25q^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для решения этого равенства мы используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Дано равенство: $(a + C)^2 = D + 2ab + b^2$.
Раскроем скобки в левой части: $(a + C)^2 = a^2 + 2aC + C^2$.
Приравняем правую и левую части: $a^2 + 2aC + C^2 = D + 2ab + b^2$.
Сравнивая члены многочленов, мы видим, что удвоенное произведение первого члена на второй в левой части ($2aC$) должно быть равно члену $2ab$ в правой части. Отсюда $2aC = 2ab$, что дает нам $C = b$.
Тогда квадрат второго члена $C^2$ должен быть равен $b^2$, что соответствует действительности, так как $C=b$.
Оставшиеся члены - это $a^2$ в левой части и $D$ в правой. Следовательно, $D = a^2$.
Проверка: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Равенство выполняется.
Ответ: $C=b$, $D=a^2$.

б) Дано равенство: $(2x + C)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$.
Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы: $(2x + C)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot C + C^2 = 4x^2 + 4xC + C^2$.
Приравняем полученное выражение к правой части равенства: $4x^2 + 4xC + C^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$.
Сравнивая члены многочленов, мы видим, что $4xC = 4xy$, откуда $C = y$.
Также должно выполняться $C^2 = y^2$. Подставляя $C=y$, получаем $y^2 = y^2$, что верно.
Проверка: $(2x+y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)y + y^2 = 4x^2+4xy+y^2$. Равенство выполняется.
Ответ: $C=y$.

в) Дано равенство: $(C + 3m)^2 = 4n^2 + 12mn + 9m^2$.
Раскроем скобки в левой части: $(C + 3m)^2 = C^2 + 2 \cdot C \cdot 3m + (3m)^2 = C^2 + 6Cm + 9m^2$.
Приравняем это к правой части: $C^2 + 6Cm + 9m^2 = 4n^2 + 12mn + 9m^2$.
Сравнивая члены, видим, что $9m^2$ присутствует в обеих частях.
Сравним первые члены: $C^2 = 4n^2$. Из этого следует, что $C = 2n$ или $C = -2n$.
Сравним средние члены: $6Cm = 12mn$.
Если подставить $C = 2n$, получим $6 \cdot (2n) \cdot m = 12mn$, что верно.
Если подставить $C = -2n$, получим $6 \cdot (-2n) \cdot m = -12mn$, что не соответствует правой части.
Следовательно, подходит только $C = 2n$.
Проверка: $(2n+3m)^2 = (2n)^2 + 2(2n)(3m) + (3m)^2 = 4n^2+12mn+9m^2$. Равенство выполняется.
Ответ: $C=2n$.

г) Дано равенство: $(C + D)^2 = 9p^2 + 30pq + 25q^2$.
Правая часть равенства является полным квадратом. Представим ее в виде $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Первый член $9p^2 = (3p)^2$, значит, $x=3p$.
Последний член $25q^2 = (5q)^2$, значит, $y=5q$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot 3p \cdot 5q = 30pq$. Это соответствует среднему члену в правой части.
Таким образом, правая часть равна $(3p + 5q)^2$.
Получаем равенство: $(C + D)^2 = (3p + 5q)^2$.
Отсюда следует, что $C+D = 3p+5q$. Мы можем выбрать $C = 3p$ и $D = 5q$. (Также возможен вариант $C = 5q$ и $D = 3p$).
Проверка: $(3p+5q)^2 = (3p)^2 + 2(3p)(5q) + (5q)^2 = 9p^2+30pq+25q^2$. Равенство выполняется.
Ответ: $C=3p$, $D=5q$.