Номер 342, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.1. Квадрат суммы. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 342, страница 101.

Условие.

342. Доказываем. Пользуясь рисунком 13, докажите, что для $a > 0, b > 0$ верно равенство $(a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$.

Рис. 13

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Чтобы доказать равенство $(a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$ с помощью рисунка 13, рассмотрим площадь большого квадрата. Условие $a > 0, b > 0$ означает, что мы имеем дело с реальными геометрическими фигурами, имеющими положительные длины сторон.

1. Вычисление площади большого квадрата через длину его стороны.

На рисунке 13 изображен большой квадрат. Длина каждой его стороны равна сумме длин отрезков $a$ и $b$. То есть, сторона большого квадрата равна $(a + b)$.

Площадь квадрата вычисляется как квадрат его стороны. Следовательно, площадь большого квадрата $S$ равна:

$S = (a + b) \cdot (a + b) = (a + b)^2$

2. Вычисление площади большого квадрата как суммы площадей его частей.

Этот большой квадрат разделен на четыре меньшие фигуры:

• Квадрат со стороной $a$ (в левом нижнем углу). Его площадь равна $S_1 = a \cdot a = a^2$.
• Квадрат со стороной $b$ (в правом верхнем углу). Его площадь равна $S_2 = b \cdot b = b^2$.
• Два одинаковых прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Их площади равны $S_3 = a \cdot b$ и $S_4 = a \cdot b$.

Площадь большого квадрата равна сумме площадей этих четырех фигур:

$S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = a^2 + b^2 + ab + ab$

Сложив подобные слагаемые, получаем:

$S = a^2 + 2ab + b^2$

3. Заключение.

Мы вычислили площадь одного и того же большого квадрата двумя разными способами и получили два выражения. Поскольку оба выражения представляют одну и ту же площадь, они должны быть равны друг другу:

$(a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, равенство доказано геометрически.

Ответ: Равенство $(a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$ доказано путем вычисления площади квадрата со стороной $(a + b)$ двумя способами: как квадрат его стороны и как сумму площадей четырех фигур, на которые он разбит (квадрата со стороной $a$, квадрата со стороной $b$ и двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$).