Номер 345, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.1. Квадрат суммы. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 345, страница 101.

Условие.

345. Представьте многочлен в виде квадрата суммы:

а) $x^2 + 2xy + y^2;$

б) $a^2 + 4ab + 4b^2;$

в) $9m^2 + 6mn + n^2;$

г) $16p^2 + 40pq + 25q^2;$

д) $x^2 + 2x + 1;$

е) $9 + 6a + a^2;$

ж) $16 + 8p + p^2;$

з) $4m^2 + 9n^2 + 12mn;$

и) $x^4 + 2x^2y^3 + y^6;$

к) $a^6 + 2a^3b^3 + b^6.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для представления многочлена в виде квадрата суммы используется формула сокращенного умножения: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Мы будем применять эту формулу для каждого из представленных многочленов.

а) $x^2 + 2xy + y^2$
В данном многочлене $a=x$ и $b=y$. Проверяем: первый член – это $x^2$, третий – $y^2$, а средний член – их удвоенное произведение $2 \cdot x \cdot y = 2xy$. Таким образом, многочлен является полным квадратом суммы.
$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
Ответ: $(x+y)^2$

б) $a^2 + 4ab + 4b^2$
Здесь первый член – это квадрат $a$, то есть $(a)^2$. Третий член – это квадрат $2b$, так как $4b^2 = (2b)^2$. Удвоенное произведение этих членов равно $2 \cdot a \cdot (2b) = 4ab$, что совпадает со вторым членом многочлена.
$a^2 + 4ab + 4b^2 = (a)^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a+2b)^2$.
Ответ: $(a+2b)^2$

в) $9m^2 + 6mn + n^2$
Представим первый член как квадрат $3m$, то есть $9m^2 = (3m)^2$. Третий член – это квадрат $n$, то есть $n^2 = (n)^2$. Их удвоенное произведение: $2 \cdot (3m) \cdot n = 6mn$.
$9m^2 + 6mn + n^2 = (3m)^2 + 2 \cdot (3m) \cdot n + n^2 = (3m+n)^2$.
Ответ: $(3m+n)^2$

г) $16p^2 + 40pq + 25q^2$
Первый член $16p^2 = (4p)^2$. Третий член $25q^2 = (5q)^2$. Удвоенное произведение $2 \cdot (4p) \cdot (5q) = 40pq$, что соответствует среднему члену.
$16p^2 + 40pq + 25q^2 = (4p)^2 + 2 \cdot (4p) \cdot (5q) + (5q)^2 = (4p+5q)^2$.
Ответ: $(4p+5q)^2$

д) $x^2 + 2x + 1$
Здесь первый член $x^2 = (x)^2$, третий член $1 = 1^2$. Удвоенное произведение $2 \cdot x \cdot 1 = 2x$.
$x^2 + 2x + 1 = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = (x+1)^2$.
Ответ: $(x+1)^2$

е) $9 + 6a + a^2$
Хотя члены расположены в другом порядке, это все еще полный квадрат. Первый член $9=3^2$, третий член $a^2=(a)^2$. Средний член является их удвоенным произведением: $2 \cdot 3 \cdot a = 6a$.
$9 + 6a + a^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot a + a^2 = (3+a)^2$.
Ответ: $(3+a)^2$

ж) $16 + 8p + p^2$
Аналогично предыдущему пункту: $16=4^2$, $p^2=(p)^2$, а $8p = 2 \cdot 4 \cdot p$.
$16 + 8p + p^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot p + p^2 = (4+p)^2$.
Ответ: $(4+p)^2$

з) $4m^2 + 9n^2 + 12mn$
Переставим члены для удобства: $4m^2 + 12mn + 9n^2$.
Первый член $4m^2 = (2m)^2$, третий член $9n^2 = (3n)^2$. Удвоенное произведение $2 \cdot (2m) \cdot (3n) = 12mn$.
$4m^2 + 12mn + 9n^2 = (2m)^2 + 2 \cdot (2m) \cdot (3n) + (3n)^2 = (2m+3n)^2$.
Ответ: $(2m+3n)^2$

и) $x^4 + 2x^2y^3 + y^6$
Здесь $x^4 = (x^2)^2$ и $y^6 = (y^3)^2$. Удвоенное произведение $2 \cdot x^2 \cdot y^3 = 2x^2y^3$.
$x^4 + 2x^2y^3 + y^6 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot y^3 + (y^3)^2 = (x^2+y^3)^2$.
Ответ: $(x^2+y^3)^2$

к) $a^6 + 2a^3b^3 + b^6$
Первый член $a^6 = (a^3)^2$, третий член $b^6 = (b^3)^2$. Удвоенное произведение $2 \cdot a^3 \cdot b^3 = 2a^3b^3$.
$a^6 + 2a^3b^3 + b^6 = (a^3)^2 + 2 \cdot a^3 \cdot b^3 + (b^3)^2 = (a^3+b^3)^2$.
Ответ: $(a^3+b^3)^2$