Номер 344, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.1. Квадрат суммы. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 344, страница 101.

Условие.

344. Доказываем.

Любое натуральное число, оканчивающееся цифрой 5, можно записать в виде $10a + 5$.

Например: $25 = 10 \cdot 2 + 5$.

Докажите, что для вычисления квадрата такого числа можно к произведению $a(a + 1)$ приписать справа 25.

Например: $25^2 = 625 (2 \cdot 3 = 6)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Пусть $N$ — любое натуральное число, оканчивающееся на 5. Как указано в условии, такое число можно представить в виде $N = 10a + 5$, где $a$ — это целое неотрицательное число, которое получается из числа $N$ отбрасыванием его последней цифры, равной 5.

Нам нужно доказать, что для вычисления квадрата числа $N$ можно к произведению $a(a + 1)$ приписать справа 25.

Для этого возведем в квадрат выражение $10a + 5$, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$N^2 = (10a + 5)^2 = (10a)^2 + 2 \cdot 10a \cdot 5 + 5^2$

Упростим правую часть равенства, выполнив вычисления:

$N^2 = 100a^2 + 100a + 25$

Теперь вынесем общий множитель 100 за скобки в первых двух слагаемых:

$N^2 = 100(a^2 + a) + 25$

Выражение в скобках можно представить в виде произведения $a^2 + a = a(a+1)$. Подставим это в нашу формулу:

$N^2 = 100 \cdot a(a+1) + 25$

Полученная формула $100 \cdot a(a+1) + 25$ является математической записью доказываемого правила. Умножение числа, равного $a(a+1)$, на 100 эквивалентно приписыванию к этому числу двух нулей справа. Последующее прибавление 25 заменяет эти два нуля на число 25. Таким образом, мы получаем число, которое состоит из цифр результата произведения $a(a+1)$, за которыми следуют цифры 2 и 5. Это и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на алгебраическом преобразовании квадрата числа вида $10a+5$. $(10a+5)^2 = 100a^2 + 100a + 25 = 100(a^2+a) + 25 = 100 \cdot a(a+1) + 25$. Эта последняя запись математически эквивалентна правилу "к произведению $a(a+1)$ приписать справа 25".