Номер 337, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.9. Тождественное равенство целых выражений. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 337, страница 99.

Условие.

337. Докажите тождество:

a) $a(b - c) + b(c - a) + c(a - b) = 0$;

б) $ab(c - d) - cd(a - b) - ac(b - d) - bd(c - a) = 0$;

в) $(m - n)(2m + 3n)(m - 7) + 7(2m^2 + 2mn - 3n^2) = m(2m^2 + mn - 3n^2 + 7n)$;

г) $(a^3b - b^2)(a^2 - 2b)(a - 3b) + 3a^2b^2(a^3 - 2ab - b) + 2b^2(a^4 - ab + 3b^2) = a^3b(a^3 - b)$;

д) $(a^2 - 4a + 4)(a^2 + 4a + 4) - a^2(a^2 - 8) = 16$;

е) $(4a^2 + 4a + 1)(4a^2 - 4a + 1) - 8a^2(2a^2 - 1) = 1$;

ж) $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1) - a^8 = -1$;

з) $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)(a^4 + 16) - a^8 = -256$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $a(b - c) + b(c - a) + c(a - b) = 0$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Раскроем скобки:

$a(b - c) + b(c - a) + c(a - b) = ab - ac + bc - ba + ca - cb$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(ab - ba) + (-ac + ca) + (bc - cb) = 0 + 0 + 0 = 0$

В результате преобразований левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $0 = 0$.

б) $ab(c - d) - cd(a - b) - ac(b - d) - bd(c - a) = 0$

Преобразуем левую часть тождества. Раскроем все скобки:

$ab(c - d) - cd(a - b) - ac(b - d) - bd(c - a) = (abc - abd) - (acd - bcd) - (abc - acd) - (bcd - abd)$

$= abc - abd - acd + bcd - abc + acd - bcd + abd$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(abc - abc) + (-abd + abd) + (-acd + acd) + (bcd - bcd) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $0 = 0$.

в) $(m - n)(2m + 3n)(m - 7) + 7(2m^2 + 2mn - 3n^2) = m(2m^2 + mn - 3n^2 + 7n)$

Преобразуем левую и правую части тождества по отдельности.

Левая часть:

Сначала перемножим первые две скобки: $(m - n)(2m + 3n) = 2m^2 + 3mn - 2mn - 3n^2 = 2m^2 + mn - 3n^2$.

Теперь умножим полученное выражение на $(m - 7)$:

$(2m^2 + mn - 3n^2)(m - 7) = m(2m^2 + mn - 3n^2) - 7(2m^2 + mn - 3n^2) = 2m^3 + m^2n - 3mn^2 - 14m^2 - 7mn + 21n^2$.

Раскроем скобки во втором слагаемом левой части: $7(2m^2 + 2mn - 3n^2) = 14m^2 + 14mn - 21n^2$.

Сложим все части:

$(2m^3 + m^2n - 3mn^2 - 14m^2 - 7mn + 21n^2) + (14m^2 + 14mn - 21n^2)$

$= 2m^3 + m^2n - 3mn^2 + (-14m^2 + 14m^2) + (-7mn + 14mn) + (21n^2 - 21n^2)$

$= 2m^3 + m^2n - 3mn^2 + 7mn$.

Правая часть:

Раскроем скобки: $m(2m^2 + mn - 3n^2 + 7n) = 2m^3 + m^2n - 3mn^2 + 7mn$.

Левая и правая части равны. Тождество доказано.

Ответ: $2m^3 + m^2n - 3mn^2 + 7mn = 2m^3 + m^2n - 3mn^2 + 7mn$.

г) $(a^3b - b^2)(a^2 - 2b)(a - 3b) + 3a^2b^2(a^3 - 2ab - b) + 2b^2(a^4 - ab + 3b^2) = a^3b(a^3 - b)$

Преобразуем левую часть тождества. Раскроем скобки в каждом слагаемом.

Первое слагаемое: $(a^3b - b^2)(a^2 - 2b)(a - 3b) = (a^5b - 2a^3b^2 - a^2b^2 + 2b^3)(a - 3b)$

$= a(a^5b - 2a^3b^2 - a^2b^2 + 2b^3) - 3b(a^5b - 2a^3b^2 - a^2b^2 + 2b^3)$

$= (a^6b - 2a^4b^2 - a^3b^2 + 2ab^3) - (3a^5b^2 - 6a^3b^3 - 3a^2b^3 + 6b^4)$

$= a^6b - 2a^4b^2 - a^3b^2 + 2ab^3 - 3a^5b^2 + 6a^3b^3 + 3a^2b^3 - 6b^4$.

Второе слагаемое: $3a^2b^2(a^3 - 2ab - b) = 3a^5b^2 - 6a^3b^3 - 3a^2b^3$.

Третье слагаемое: $2b^2(a^4 - ab + 3b^2) = 2a^4b^2 - 2ab^3 + 6b^4$.

Сложим все три полученных выражения:

$(a^6b - 3a^5b^2 + 6a^3b^3 + 3a^2b^3 - 2a^4b^2 - a^3b^2 + 2ab^3 - 6b^4) + (3a^5b^2 - 6a^3b^3 - 3a^2b^3) + (2a^4b^2 - 2ab^3 + 6b^4)$

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

$a^6b + (-3a^5b^2 + 3a^5b^2) + (-2a^4b^2 + 2a^4b^2) + (6a^3b^3 - 6a^3b^3) - a^3b^2 + (3a^2b^3 - 3a^2b^3) + (2ab^3 - 2ab^3) + (-6b^4 + 6b^4)$

$= a^6b - a^3b^2$.

Теперь преобразуем правую часть: $a^3b(a^3 - b) = a^6b - a^3b^2$.

Левая и правая части равны. Тождество доказано.

Ответ: $a^6b - a^3b^2 = a^6b - a^3b^2$.

д) $(a^2 - 4a + 4)(a^2 + 4a + 4) - a^2(a^2 - 8) = 16$

Преобразуем левую часть. Заметим, что выражения в скобках являются полными квадратами:

$a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$

$a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2$

Подставим их в исходное выражение:

$(a - 2)^2(a + 2)^2 - a^2(a^2 - 8) = ((a - 2)(a + 2))^2 - a^2(a^2 - 8)$

Используем формулу разности квадратов $(a - 2)(a + 2) = a^2 - 4$:

$(a^2 - 4)^2 - a^2(a^2 - 8)$

Раскроем скобки:

$(a^4 - 8a^2 + 16) - (a^4 - 8a^2) = a^4 - 8a^2 + 16 - a^4 + 8a^2 = 16$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $16 = 16$.

е) $(4a^2 + 4a + 1)(4a^2 - 4a + 1) - 8a^2(2a^2 - 1) = 1$

Преобразуем левую часть. Выражения в скобках являются полными квадратами:

$4a^2 + 4a + 1 = (2a + 1)^2$

$4a^2 - 4a + 1 = (2a - 1)^2$

Подставим их в исходное выражение:

$(2a + 1)^2(2a - 1)^2 - 8a^2(2a^2 - 1) = ((2a + 1)(2a - 1))^2 - 8a^2(2a^2 - 1)$

Используем формулу разности квадратов $(2a + 1)(2a - 1) = 4a^2 - 1$:

$(4a^2 - 1)^2 - 8a^2(2a^2 - 1)$

Раскроем скобки:

$(16a^4 - 8a^2 + 1) - (16a^4 - 8a^2) = 16a^4 - 8a^2 + 1 - 16a^4 + 8a^2 = 1$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $1 = 1$.

ж) $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1) - a^8 = -1$

Преобразуем левую часть, последовательно применяя формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

$(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1$

$(a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$

$(a^4 - 1)(a^4 + 1) = (a^4)^2 - 1^2 = a^8 - 1$

Подставим результат в исходное выражение:

$(a^8 - 1) - a^8 = a^8 - 1 - a^8 = -1$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $-1 = -1$.

з) $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)(a^4 + 16) - a^8 = -256$

Преобразуем левую часть, последовательно применяя формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

$(a - 2)(a + 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$

$(a^2 - 4)(a^2 + 4) = (a^2)^2 - 4^2 = a^4 - 16$

$(a^4 - 16)(a^4 + 16) = (a^4)^2 - 16^2 = a^8 - 256$

Подставим результат в исходное выражение:

$(a^8 - 256) - a^8 = a^8 - 256 - a^8 = -256$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $-256 = -256$.