Номер 334, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.9. Тождественное равенство целых выражений. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 334, страница 99.

Условие.

334. Являются ли следующие выражения тождественно равными (объясните почему):

а) $(x+y)$ и $(y+x)$;

б) $c(3xy)$ и $3cxy$;

в) $(2a+7+a)$ и $(3a+7)$;

г) $x(3x-8)$ и $(3x^2-8x)$;

д) $(3m-2n)$ и $(m-2n+m)$;

е) $(2x-3)$ и $(3x+5)$;

ж) $(x+1)(x-1)$ и $x^2-1$;

з) $(x+2)(x-2)$ и $x^2-4$;

и) $(1+y)(1-y)$ и $1-y^2$;

к) $(3+y)(3-y)$ и $9-y^2$;

л) $(2x+1)(2x-1)$ и $4x^2-1$;

м) $(x+y)(x-y)$ и $x^2-y^2$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Выражения $(x + y)$ и $(y + x)$ являются тождественно равными. Это следует из переместительного (коммутативного) закона сложения, который гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Для любых значений $x$ и $y$ будет выполняться равенство $x + y = y + x$. Ответ: Да, являются.

б) Выражения $c(3xy)$ и $3cxy$ являются тождественно равными. Это следует из сочетательного (ассоциативного) и переместительного (коммутативного) законов умножения. Мы можем перегруппировать и поменять местами множители: $c(3xy) = c \cdot 3 \cdot x \cdot y = 3 \cdot c \cdot x \cdot y = 3cxy$. Ответ: Да, являются.

в) Выражения $(2a + 7 + a)$ и $(3a + 7)$ являются тождественно равными. В первом выражении можно привести подобные слагаемые: $2a + a = 3a$. Таким образом, выражение $(2a + 7 + a)$ упрощается до $(3a + 7)$, что полностью совпадает со вторым выражением. Ответ: Да, являются.

г) Выражения $x(3x - 8)$ и $(3x^2 - 8x)$ являются тождественно равными. Раскроем скобки в первом выражении, используя распределительный (дистрибутивный) закон умножения: $x \cdot (3x) - x \cdot 8 = 3x^2 - 8x$. Полученное выражение идентично второму. Ответ: Да, являются.

д) Выражения $(3m - 2n)$ и $(m - 2n + m)$ не являются тождественно равными. Упростим второе выражение, приведя подобные слагаемые: $m + m = 2m$. Второе выражение равно $(2m - 2n)$. Так как $3m - 2n \neq 2m - 2n$ (если $m \neq 0$), выражения не являются тождественно равными. Ответ: Нет, не являются.

е) Выражения $(2x - 3)$ и $(3x + 5)$ не являются тождественно равными. Это два разных линейных выражения. Они равны только при одном конкретном значении $x$ (когда $2x - 3 = 3x + 5$, то есть $x = -8$), но не для всех возможных значений $x$. Например, при $x=0$ первое выражение равно $-3$, а второе $5$. Ответ: Нет, не являются.

ж) Выражения $(x + 1)(x - 1)$ и $x^2 - 1$ являются тождественно равными. Первое выражение представляет собой произведение суммы и разности двух чисел, которое по формуле разности квадратов равно разности их квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В данном случае $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$. Ответ: Да, являются.

з) Выражения $(x + 2)(x - 2)$ и $x^2 - 4$ являются тождественно равными. Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=x$ и $b=2$. Получаем: $(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$. Ответ: Да, являются.

и) Выражения $(1 + y)(1 - y)$ и $1 - y^2$ являются тождественно равными. Это еще один пример применения формулы разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Здесь $a=1$ и $b=y$, поэтому $(1 + y)(1 - y) = 1^2 - y^2 = 1 - y^2$. Ответ: Да, являются.

к) Выражения $(3 + y)(3 - y)$ и $9 - y^2$ являются тождественно равными. Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ с $a=3$ и $b=y$, получаем: $(3 + y)(3 - y) = 3^2 - y^2 = 9 - y^2$. Ответ: Да, являются.

л) Выражения $(2x + 1)(2x - 1)$ и $4x^2 - 1$ являются тождественно равными. Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a=2x$ и $b=1$. Следовательно, $(2x + 1)(2x - 1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$. Ответ: Да, являются.

м) Выражения $(x + y)(x - y)$ и $x^2 - y^2$ являются тождественно равными. Это равенство является определением формулы разности квадратов: произведение суммы двух выражений на их разность равно разности квадратов этих выражений. $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$. Ответ: Да, являются.