Номер 335, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.9. Тождественное равенство целых выражений. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 335, страница 99.

Условие.

335. Являются ли следующие выражения тождественно равными (объясните почему):

а) $2 + x$ и $x + 2$;

б) $2a + 5$ и $a - 1 + a + 6$;

в) $x^2 - x + 3$ и $3 - x + x^2$;

г) $2(3x - 1)$ и $6x - 2$;

д) $x + y - 2x + 3y$ и $4y - x$;

е) $2a - b3 + 3b$ и $2a$;

ж) $3x + 4x + 5x + 1$ и $12x + 1$;

з) $5x - 2y + x$ и $-2y + 6x$;

и) $x^2 + 2y$ и $2(x^2 + y) - x^2$;

к) $3x(x - y)$ и $3y(y - x)$;

л) $(x - y)y$ и $(x - y)x$;

м) $(x + y)x$ и $(x - y)x$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Сравним выражения $2 + x$ и $x + 2$. Согласно переместительному (коммутативному) свойству сложения, от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($a + b = b + a$). Следовательно, $2 + x = x + 2$ для любых значений $x$.
Ответ: Да, являются тождественно равными.

б) Сравним выражения $2a + 5$ и $a - 1 + a + 6$. Упростим второе выражение, приведя подобные слагаемые: $a - 1 + a + 6 = (a + a) + (6 - 1) = 2a + 5$. После упрощения второе выражение стало идентичным первому.
Ответ: Да, являются тождественно равными.

в) Сравним выражения $x² - x + 3$ и $3 - x + x²$. Во втором выражении можно поменять местами слагаемые, используя переместительное свойство сложения: $3 - x + x² = x² - x + 3$. Выражения полностью совпадают.
Ответ: Да, являются тождественно равными.

г) Сравним выражения $2(3x - 1)$ и $6x - 2$. Упростим первое выражение, раскрыв скобки с помощью распределительного (дистрибутивного) свойства умножения: $2(3x - 1) = 2 \cdot 3x - 2 \cdot 1 = 6x - 2$. После упрощения первое выражение стало идентичным второму.
Ответ: Да, являются тождественно равными.

д) Сравним выражения $x + y - 2x + 3y$ и $4y - x$. Упростим первое выражение, приведя подобные слагаемые: $x + y - 2x + 3y = (x - 2x) + (y + 3y) = -x + 4y$. Поменяв слагаемые местами, получим $4y - x$, что полностью совпадает со вторым выражением.
Ответ: Да, являются тождественно равными.

е) Сравним выражения $2a - b3 + 3b$ и $2a$. Будем считать, что запись $b3$ означает $b \cdot 3$ или $3b$. Тогда упростим первое выражение: $2a - 3b + 3b = 2a + (-3b + 3b) = 2a + 0 = 2a$. Упрощенное первое выражение совпадает со вторым.
Ответ: Да, являются тождественно равными.

ж) Сравним выражения $3x + 4x + 5x + 1$ и $12x + 1$. Упростим первое выражение, сложив подобные слагаемые: $3x + 4x + 5x + 1 = (3+4+5)x + 1 = 12x + 1$. Упрощенное первое выражение полностью совпадает со вторым.
Ответ: Да, являются тождественно равными.

з) Сравним выражения $5x - 2y + x$ и $-2y + 6x$. Упростим первое выражение, приведя подобные слагаемые: $5x - 2y + x = (5x + x) - 2y = 6x - 2y$. Во втором выражении поменяем слагаемые местами: $-2y + 6x = 6x - 2y$. Выражения идентичны.
Ответ: Да, являются тождественно равными.

и) Сравним выражения $x² + 2y$ и $2(x² + y) - x²$. Упростим второе выражение. Сначала раскроем скобки: $2 \cdot x² + 2 \cdot y - x² = 2x² + 2y - x²$. Теперь приведем подобные слагаемые: $(2x² - x²) + 2y = x² + 2y$. Упрощенное второе выражение совпадает с первым.
Ответ: Да, являются тождественно равными.

к) Сравним выражения $3x(x - y)$ и $3y(y - x)$. Упростим оба выражения, раскрыв скобки:
Первое выражение: $3x(x - y) = 3x^2 - 3xy$.
Второе выражение: $3y(y - x) = 3y^2 - 3yx = 3y^2 - 3xy$.
Сравним результаты: $3x^2 - 3xy$ и $3y^2 - 3xy$. Эти выражения не равны в общем случае, так как $3x^2 \ne 3y^2$, если $x^2 \ne y^2$. Например, при $x=2, y=1$:
$3 \cdot 2(2-1) = 6(1) = 6$.
$3 \cdot 1(1-2) = 3(-1) = -3$.
Так как $6 \ne -3$, выражения не являются тождественно равными.
Ответ: Нет, не являются тождественно равными.

л) Сравним выражения $(x - y)y$ и $(x - y)x$. Упростим оба, раскрыв скобки:
Первое выражение: $(x - y)y = xy - y^2$.
Второе выражение: $(x - y)x = x^2 - xy$.
Выражения $xy - y^2$ и $x^2 - xy$ не равны друг другу для произвольных значений переменных. Например, при $x=2, y=1$:
$(2-1) \cdot 1 = 1$.
$(2-1) \cdot 2 = 2$.
Так как $1 \ne 2$, выражения не являются тождественно равными.
Ответ: Нет, не являются тождественно равными.

м) Сравним выражения $(x + y)x$ и $(x - y)x$. Упростим оба, раскрыв скобки:
Первое выражение: $(x + y)x = x^2 + xy$.
Второе выражение: $(x - y)x = x^2 - xy$.
Выражения $x^2 + xy$ и $x^2 - xy$ не равны, если $xy \ne -xy$, то есть если $2xy \ne 0$, что выполняется для любых $x \ne 0$ и $y \ne 0$. Например, при $x=1, y=1$:
$(1+1) \cdot 1 = 2$.
$(1-1) \cdot 1 = 0$.
Так как $2 \ne 0$, выражения не являются тождественно равными.
Ответ: Нет, не являются тождественно равными.