Номер 336, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.9. Тождественное равенство целых выражений. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 336, страница 99.

Условие.

Доказываем (336–337).

336. Докажите тождество:

а) $a - b = -(b - a);$

б) $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2;$

в) $(a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2;$

г) $(a - b)(a - b) = a^2 - 2ab + b^2;$

д) $(m - n)(m^2 + mn + n^2) = m^3 - n^3;$

е) $(m + n)(m^2 - mn + n^2) = m^3 + n^3;$

ж) $(p + 1)(p + 1)(p + 1) = p^3 + 3p^2 + 3p + 1;$

з) $(q - 1)(q - 1)(q - 1) = q^3 - 3q^2 + 3q - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для доказательства тождества $a - b = -(b - a)$ преобразуем его правую часть. Раскроем скобки в выражении $-(b - a)$:

$-(b - a) = -1 \cdot b - (-1) \cdot a = -b + a$

Используя переместительное (коммутативное) свойство сложения, получаем:

$-b + a = a - b$

Таким образом, правая часть тождества $-(b-a)$ после преобразования стала равна левой части $a-b$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй (по правилу умножения многочленов):

$(x - y)(x + y) = x \cdot x + x \cdot y - y \cdot x - y \cdot y = x^2 + xy - yx - y^2$

Так как $xy$ и $-yx$ являются подобными слагаемыми с противоположными знаками, их сумма равна нулю ($xy - yx = 0$):

$x^2 + xy - yx - y^2 = x^2 + 0 - y^2 = x^2 - y^2$

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Это известная формула сокращенного умножения "разность квадратов". Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Для доказательства тождества $(a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$ преобразуем левую часть. Левая часть представляет собой произведение двух одинаковых скобок, что является квадратом суммы: $(a + b)^2$. Раскроем скобки:

$(a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ba + b^2$

Приведем подобные слагаемые $ab$ и $ba$:

$a^2 + (ab + ba) + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Это формула "квадрат суммы". Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г) Для доказательства тождества $(a - b)(a - b) = a^2 - 2ab + b^2$ преобразуем левую часть. Левая часть является квадратом разности: $(a - b)^2$. Раскроем скобки:

$(a - b)(a - b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a + (-b) \cdot (-b) = a^2 - ab - ba + b^2$

Приведем подобные слагаемые $-ab$ и $-ba$:

$a^2 - (ab + ba) + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Это формула "квадрат разности". Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

д) Для доказательства тождества $(m - n)(m^2 + mn + n^2) = m^3 - n^3$ преобразуем левую часть. Раскроем скобки, умножив многочлен $(m-n)$ на многочлен $(m^2 + mn + n^2)$:

$m \cdot (m^2 + mn + n^2) - n \cdot (m^2 + mn + n^2) = (m^3 + m^2n + mn^2) - (m^2n + mn^2 + n^3)$

Раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:

$m^3 + m^2n + mn^2 - m^2n - mn^2 - n^3 = m^3 + (m^2n - m^2n) + (mn^2 - mn^2) - n^3 = m^3 - n^3$

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Это формула "разность кубов". Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

е) Для доказательства тождества $(m + n)(m^2 - mn + n^2) = m^3 + n^3$ преобразуем левую часть. Раскроем скобки:

$m \cdot (m^2 - mn + n^2) + n \cdot (m^2 - mn + n^2) = (m^3 - m^2n + mn^2) + (m^2n - mn^2 + n^3)$

Приведем подобные слагаемые:

$m^3 - m^2n + m^2n + mn^2 - mn^2 + n^3 = m^3 + (-m^2n + m^2n) + (mn^2 - mn^2) + n^3 = m^3 + n^3$

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Это формула "сумма кубов". Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

ж) Для доказательства тождества $(p + 1)(p + 1)(p + 1) = p^3 + 3p^2 + 3p + 1$ преобразуем левую часть, которая является кубом суммы $(p+1)^3$. Сначала перемножим первые две скобки (что равносильно возведению в квадрат):

$(p + 1)(p + 1) = (p+1)^2 = p^2 + 2 \cdot p \cdot 1 + 1^2 = p^2 + 2p + 1$

Теперь умножим полученный результат на оставшуюся скобку $(p + 1)$:

$(p^2 + 2p + 1)(p + 1) = p \cdot (p^2 + 2p + 1) + 1 \cdot (p^2 + 2p + 1) = (p^3 + 2p^2 + p) + (p^2 + 2p + 1)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$p^3 + (2p^2 + p^2) + (p + 2p) + 1 = p^3 + 3p^2 + 3p + 1$

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Это формула "куб суммы". Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

з) Для доказательства тождества $(q - 1)(q - 1)(q - 1) = q^3 - 3q^2 + 3q - 1$ преобразуем левую часть, которая является кубом разности $(q-1)^3$. Сначала перемножим первые две скобки:

$(q - 1)(q - 1) = (q-1)^2 = q^2 - 2 \cdot q \cdot 1 + 1^2 = q^2 - 2q + 1$

Теперь умножим полученный результат на оставшуюся скобку $(q - 1)$:

$(q^2 - 2q + 1)(q - 1) = q \cdot (q^2 - 2q + 1) - 1 \cdot (q^2 - 2q + 1) = (q^3 - 2q^2 + q) - (q^2 - 2q + 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$q^3 - 2q^2 + q - q^2 + 2q - 1 = q^3 + (-2q^2 - q^2) + (q + 2q) - 1 = q^3 - 3q^2 + 3q - 1$

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Это формула "куб разности". Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.